Teoremas do valor médio, L'Hôpital e diferencial

Rolle e extremos interiores

A função $f(x)=x^2-2x$ vale zero em $x=0$ e em $x=2$, mas desce e volta a subir entre esses pontos. O mínimo está em $x=1$, onde a tangente é horizontal. Rolle garante um ponto com derivada zero quando os valores nos extremos coincidem e as hipóteses de regularidade se verificam.

Se uma função tem um máximo ou mínimo local num ponto interior $c$ e é derivável aí, então $f'(c)=0$. É o teorema de Fermat, que não afirma que todo o zero da derivada é um extremo: a função $x^3$ tem derivada zero em $0$ e continua a crescer dos dois lados.

O teorema de Rolle diz que, se $f$ é contínua em $[a,b]$, derivável em $]a,b[$ e $f(a)=f(b)$, existe $c\in]a,b[$ com $f'(c)=0$.

A continuidade garante máximo e mínimo no intervalo. Se a função não é constante, um deles é interior, porque os valores nos extremos são iguais. Fermat dá então a derivada zero nesse ponto. Numa função constante, qualquer ponto interior serve.

Para $f(x)=x^2-2x$ em $[0,2]$, temos $f(0)=f(2)=0$ e $f'(x)=2x-2$. O ponto é $c=1$. Já $|x|$ em $[-1,1]$ cumpre a igualdade dos extremos mas não a derivabilidade interior. Não existe ponto com derivada zero.

Teorema de Lagrange

Se $f$ é contínua em $[a,b]$ e derivável em $]a,b[$, existe $c\in]a,b[$ tal que

$$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

A taxa média é atingida como taxa instantânea. Para demonstrar, subtrai a reta secante a $f$. A diferença é contínua, derivável no interior e vale zero nos dois extremos, por isso Rolle aplica-se.

Na figura, $f(x)=x^2$ em $[0{,}5,2{,}5]$. A taxa média é $(6{,}25-0{,}25)/2=3$. Resolvendo $2c=3$, obtemos $c=1{,}5$. A secante e a tangente nesse ponto são paralelas, embora sejam retas diferentes.

Se $f'=0$ num intervalo, Lagrange dá $f(b)-f(a)=0$ para quaisquer dois pontos, logo $f$ é constante nesse intervalo. Se $|f'|\le M$, obtemos também

$$|f(b)-f(a)|\le M|b-a|.$$

Por exemplo, $|\sin b-\sin a|\le|b-a|$, porque $|\cos c|\le1$. Estas conclusões aplicam-se apenas dentro de cada intervalo: a função $1/x$ tem derivada negativa em todo o domínio, mas não é decrescente quando comparamos pontos de lados diferentes de zero.

Teorema de Cauchy e regra de L’Hôpital

Se $f,g$ são contínuas em $[a,b]$ e deriváveis no interior, existe $c\in]a,b[$ com

$$\begin{gathered} [f(b)-f(a)]g'(c)\\ =[g(b)-g(a)]f'(c). \end{gathered}$$

Se $g'$ nunca se anula, Rolle garante $g(b)\ne g(a)$ e podemos escrever esta identidade como igualdade de quocientes. Para $g(x)=x$, recuperamos Lagrange.

Uma consequência é a regra de L’Hôpital. Se $f,g$ são deriváveis numa vizinhança perfurada do ponto, $g'\ne0$ nessa vizinhança, e temos uma indeterminação $0/0$ ou $\infty/\infty$, então

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},$$

desde que o limite da direita exista, finito ou infinito. Usa a versão lateral quando necessário; o resultado também vale no infinito com hipóteses correspondentes.

Para $\lim_{x\to0}(e^x-1-x)/x^2$, a substituição dá $0/0$, por isso derivamos numerador e denominador separadamente:

$$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{2x}.$$

Ainda temos $0/0$, por isso aplicamos a regra novamente e obtemos $\lim_{x\to0}e^x/2=1/2$. A regra não manda derivar o quociente.

A expressão $(x+1)/(x+2)$ em $x=0$ não é indeterminada. O limite é $1/2$; derivar os dois termos daria $1$, uma conclusão falsa.

Para outras indeterminações, transforma primeiro:

• $0\cdot\infty$ pode passar a quociente, como $x\ln x=\ln x/(1/x)$. Para $x\to0^+$, esta forma é $-\infty/\infty$. Derivar dá $(1/x)/(-1/x^2)=-x\to0$, logo $x\ln x\to0$. A transformação vem antes da regra, e a verificação da indeterminação também.
• $\infty-\infty$ pode pedir denominador comum ou conjugado.
• Em $1^\infty$, $0^0$ ou $\infty^0$, toma logaritmos de uma expressão positiva e calcula o limite do logaritmo.

Por exemplo, para $x\to0^+$,

$$\ln(x^x)=x\ln x=\frac{\ln x}{1/x}.$$

Temos $-\infty/\infty$. A razão das derivadas é $(1/x)/(-1/x^2)=-x\to0$. Logo $x^x=e^{x\ln x}\to1$.

Se a razão das derivadas não tem limite, a regra não decide, embora a razão original ainda possa convergir; não confundas uma condição suficiente com uma equivalência.

Por exemplo, $\lim_{x\to+\infty}x/(2x+\sin x)$ é uma indeterminação $\infty/\infty$. Derivar numerador e denominador dá $1/(2+\cos x)$, que oscila entre $1/3$ e $1$ sem tender para nenhum limite. Aqui o denominador derivado nunca se anula ($2+\cos x\ge1$), por isso a única obstrução é a oscilação: a regra nada conclui. No entanto, dividindo por $x$,

$$\frac{x}{2x+\sin x}=\frac1{2+(\sin x)/x}\to\frac12,$$

porque $(\sin x)/x\to0$. O limite existe e vale $1/2$, apesar de a regra não o decidir.

Diferencial e aproximação linear

Se $f$ é derivável em $a$, a sua variação satisfaz

$$f(a+h)-f(a)=f'(a)h+o(h).$$

O símbolo $o(h)$ significa que o erro dividido por $h$ tende para zero. Chamamos diferencial à parte linear, $dy=f'(a)\,dx$. Se $dx=h$, então $dy$ aproxima $\Delta y=f(a+h)-f(a)$, mas não é geralmente igual a ela.

Para $f(x)=\sqrt x$ perto de $a=4$, $f(4)=2$ e $f'(4)=1/4$. Assim,

$$\sqrt{4{,}04}\approx2+\frac14(0{,}04)=2{,}01.$$

O incremento absoluto previsto é $0{,}01$. Para uma medida $x$ com pequeno erro $\Delta x$, estima $\Delta y\approx f'(x)\Delta x$. O erro relativo é aproximadamente $|f'(x)\Delta x/f(x)|$, quando $f(x)\ne0$.

Taxas relacionadas

Quando várias grandezas dependem do tempo, escreve primeiro a relação geométrica e só depois deriva em ordem ao tempo. Num cone de altura $6$ m e raio superior $3$ m, a semelhança de triângulos dá $r=h/2$. O volume de água até à altura $h$ é

$$V=\frac\pi3r^2h=\frac\pi{12}h^3.$$

Derivando, $dV/dt=(\pi h^2/4)\,dh/dt$; se entram $2$ m$^3$/min, quando $h=2$ m temos

$$2=\pi\frac{dh}{dt}\quad\Longrightarrow\quad \frac{dh}{dt}=\frac2\pi\ \text{m/min}.$$

A altura sobe. Se o tanque estivesse a esvaziar com o mesmo caudal, $dV/dt=-2$ e o sinal da velocidade seria negativo. Substituir $h=2$ antes de derivar apagaria a variável que precisamos de acompanhar.