Séries de Fourier

Funções periódicas e a forma da série

O dente de serra sobe como $f(x)=x$ entre $-\pi$ e $\pi$ e volta ao início em cada período. Para o representar, somamos senos e cossenos com frequências múltiplas da fundamental. Ao contrário de Taylor, os coeficientes usam a função num período inteiro, através de integrais.

Uma função tem período $T>0$ se $f(x+T)=f(x)$. Para uma função de período $2\pi$, a série de Fourier é

$$\begin{gathered} f(x)\sim\frac{a_0}2\\ +\sum_{n=1}^{\infty}[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)]. \end{gathered}$$

O símbolo $\sim$ associa a função à sua série. Só escrevemos igualdade nos pontos onde a soma coincide com a função. Cada termo é uma harmónica de frequência múltipla da fundamental.

Coeficientes: as fórmulas de Euler

As funções $1$, $\cos nx$ e $\sin nx$ são ortogonais em $[-\pi,\pi]$. O integral do produto de duas funções distintas deste sistema é zero. Para $n\ge1$, os integrais de $\cos^2nx$ e $\sin^2nx$ valem $\pi$, enquanto $\int_{-\pi}^{\pi}1\,dx=2\pi$.

Formalmente, assumindo convergência uniforme para trocar soma e integral, multiplicar por $\cos mx$ e integrar deixa apenas o termo $n=m$. Por isso os coeficientes são

$$a_0=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx,$$ $$\begin{gathered} a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx\\ b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx\\ (n\ge1). \end{gathered}$$

O fator $a_0/2$ acomoda a norma diferente da função constante. É o valor médio de $f$ num período.

Se $f$ é par, $f\sin nx$ é ímpar e $b_n=0$. Se $f$ é ímpar, $a_0=a_n=0$. Para uma função par, os integrais dos cossenos podem escrever-se como o dobro do integral de $0$ a $\pi$. Verifica a paridade antes de começar as contas.

Dente de serra

Considera a extensão periódica de $f(x)=x$ em $]-\pi,\pi[$. É ímpar, logo todos os coeficientes $a_n$ são zero. O integrando $x\sin nx$ é par:

$$b_n=\frac2\pi\int_0^{\pi}x\sin(nx)dx.$$

Por partes, com $u=x$ e $dv=\sin nx\,dx$,

$$\begin{gathered} \int x\sin(nx)dx\\ =-\frac{x\cos(nx)}n+\frac{\sin(nx)}{n^2}. \end{gathered}$$

Nos extremos, os senos anulam-se e $\cos(n\pi)=(-1)^n$. Então

$$b_n=\frac2\pi\left[-\frac{\pi(-1)^n}{n}\right] =\frac{2(-1)^{n+1}}n.$$

A série é $\sum_{n=1}^{\infty}2(-1)^{n+1}\sin(nx)/n$. Na figura, compara a soma finita (linha contínua) com a extensão periódica (tracejado) e observa o que acontece perto dos saltos e exatamente nos extremos, porque é aí que a convergência se comporta de forma diferente; o vídeo mostra a contribuição de cada harmónica para essa reconstrução progressiva:

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Convergência e o teorema da representação

Uma condição suficiente é que $f$ seja periódica e continuamente diferenciável por partes num período, com limites laterais finitos. A série converge para

$$\frac{f(x^-)+f(x^+)}2.$$

Onde $f$ é contínua, isto é $f(x)$. Num salto, é a média dos limites laterais, independentemente do valor escolhido para $f$ no ponto. No dente de serra, em $x=\pi$, os limites periódicos são $\pi$ e $-\pi$, logo a série soma zero. Todas as somas parciais também são zero nesse ponto, porque $\sin(n\pi)=0$.

As somas finitas apresentam uma ultrapassagem perto dos saltos, o fenómeno de Gibbs. A zona torna-se mais estreita quando acrescentamos termos, mas a ultrapassagem relativa não desaparece. Não há convergência uniforme num intervalo que contenha o salto de uma função descontínua, porque as somas parciais são contínuas.

Função par: quadrado

Para a extensão periódica de $f(x)=x^2$ em $[-\pi,\pi]$, temos $b_n=0$ e

$$a_0=\frac2\pi\int_0^\pi x^2dx=\frac{2\pi^2}{3}.$$

Para $n\ge1$, integra por partes com $u=x^2$ e $dv=\cos(nx)\,dx$. Como $\sin(n\pi)=\sin0=0$, o termo integrado anula-se e resta

$$\int_0^{\pi}x^2\cos(nx)\,dx=-\frac2n\int_0^{\pi}x\sin(nx)\,dx.$$

Uma segunda integração por partes dá $\int_0^{\pi}x\sin(nx)\,dx=-\pi(-1)^n/n$, logo o integral vale $2\pi(-1)^n/n^2$.

Logo $a_n=4(-1)^n/n^2$ e

$$\begin{gathered} x^2=\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\cos(nx)}{n^2}\\ (-\pi\le x\le\pi). \end{gathered}$$

A extensão é contínua nos extremos, por isso a igualdade também vale aí. Em $x=\pi$, $\cos(n\pi)=(-1)^n$, portanto

$$\begin{gathered} \pi^2=\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}\\ \Longrightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}\\ =\frac{\pi^2}{6}. \end{gathered}$$

Aqui deduzimos a soma da série numérica a partir da representação de Fourier.

Função por partes sem simetria

A função $2\pi$-periódica que vale zero em $]-\pi,0[$ e $x$ em $[0,\pi[$ não tem simetria par nem ímpar, por isso precisa de ambas as famílias. Como a função é zero no ramo negativo, os integrais reduzem ao intervalo $[0,\pi]$. O termo constante é $a_0=(1/\pi)\int_0^\pi x\,dx=\pi/2$, por isso a série começa em $\pi/4$. Integrar por partes dá

$$\begin{gathered} a_n=\frac{(-1)^n-1}{\pi n^2}\\ b_n=\frac{(-1)^{n+1}}n. \end{gathered}$$

Em $x=0$, os dois limites laterais são zero e a série soma zero. Em $x=\pi$, a média do limite esquerdo $\pi$ com o direito periódico zero dá $\pi/2$, o que confere com os senos anulados e $\pi/4+\sum a_n(-1)^n=\pi/2$.

Período geral

Para período $2L$, com $L>0$, substitui $nx$ por $n\pi x/L$:

$$\begin{gathered} f(x)\sim\frac{a_0}2\\ +\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[a_n\cos\frac{n\pi x}L+b_n\sin\frac{n\pi x}L\bigr], \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} a_n=\frac1L\int_{-L}^Lf(x)\cos\frac{n\pi x}Ldx\\ b_n=\frac1L\int_{-L}^Lf(x)\sin\frac{n\pi x}Ldx. \end{gathered}$$

A fórmula de $a_0$ usa cosseno igual a um. Se o intervalo dado tem comprimento $2L$ mas começa noutro ponto, podes integrar nesse período completo com a mesma frequência.

Por exemplo, a função de período $2$ que vale zero em $]-1,0[$ e um em $]0,1[$ tem $a_0=1$. Para $n\ge1$,

$$\begin{gathered} a_n=\int_0^1\cos(n\pi x)dx\\ =0\\ b_n=\int_0^1\sin(n\pi x)dx\\ =\frac{1-(-1)^n}{n\pi}. \end{gathered}$$

Assim $f(x)\sim\frac12+\frac2\pi\sum_{k=0}^{\infty}\sin((2k+1)\pi x)/(2k+1)$. Nos pontos de salto, a série soma $1/2$.

Extensões em meio intervalo

Uma função dada apenas em $]0,L[$ não determina uma única extensão periódica. Temos de escolher a extensão.

Para a extensão par, a série só tem cossenos e

$$\begin{gathered} a_n=\frac2L\int_0^Lf(x)\cos\frac{n\pi x}Ldx\\ b_n=0. \end{gathered}$$

Para a extensão ímpar, só tem senos e $b_n=(2/L)\int_0^Lf(x)\sin(n\pi x/L)dx$. Ambas representam $f$ no interior onde é contínua, mas podem ter valores diferentes nos extremos.

Para $f(x)=x$ em $]0,2[$ com período $4$, o desenho mostra as duas extensões. Na ímpar, os limites em $x=2$ são $2$ e $-2$, e a série de senos soma $0$. Na par, os dois limites são $2$, e a série de cossenos soma $2$.

Para $f(x)=1$ em $]0,L[$, a extensão par é a constante $1$, sem harmónicas. Na extensão ímpar,

$$b_n=\frac{2[1-(-1)^n]}{n\pi}.$$

Obtemos $1=\frac4\pi\sum_{k=0}^{\infty}\sin((2k+1)\pi x/L)/(2k+1)$ para $0<x<L$. Nos extremos, a série de senos soma zero. Sem especificar a extensão, um enunciado em meio intervalo admite respostas distintas.