Séries de Fourier

Enquanto a série de Taylor aproxima uma função perto de um ponto com polinómios, a série de Fourier representa uma função periódica em todo o seu domínio como soma de senos e cossenos. Para engenharia, é a linguagem natural de sinais e vibrações: cada termo é uma harmónica com frequência múltipla da fundamental.

Funções periódicas e a forma da série

Uma função $f$ é periódica de período $T > 0$ se $f(x+T) = f(x)$ para todo o $x$. A cadeira trabalha com período $2\pi$: se a série converge, a sua soma herda esse período, porque cada termo $\cos(nx)$ e $\sin(nx)$ tem período $2\pi$.

A série de Fourier de $f$ escreve-se

$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \big(a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)\big),$$

onde $a_0, a_n, b_n$ são os coeficientes de Fourier. Escreve-se $a_0/2$ em vez de $a_0$ por conveniência: assim a fórmula de $a_n$ abaixo também produz $a_0$ para $n = 0$. O til indica que a igualdade depende da convergência, tratada no fim.

Coeficientes: as fórmulas de Euler

A chave é a ortogonalidade de senos e cossenos em $[-\pi, \pi]$: integrais de produtos de harmónicas distintas anulam-se, e só sobrevivem os quadrados. Multiplicando a série por $\cos(mx)$ ou $\sin(mx)$ e integrando termo a termo, isolamos cada coeficiente. As fórmulas de Euler resultantes são:

$$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx, \qquad b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx,$$

para $n \ge 0$ (com $a_0/2$ a usar $a_0$). Há dois atalhos de simetria que deves verificar primeiro: se $f$ é par, todos os $b_n$ são zero; se $f$ é ímpar, todos os $a_n$ são zero. Metade das contas desaparece.

Exemplo completo: $f(x) = x$ em $]-\pi, \pi[$

Considera a função periódica de período $2\pi$ que vale $x$ em $]-\pi, \pi[$ (onda em dente de serra). Como $f$ é ímpar, $a_n = 0$ para todo o $n$. Para $b_n$:

$$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\sin(nx)\,dx = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x\sin(nx)\,dx,$$

porque o integrando $x\sin(nx)$ é par. Primitivando por partes ($u = x$, $dv = \sin(nx)\,dx$):

$$\int x\sin(nx)\,dx = -\frac{x\cos(nx)}{n} + \frac{\sin(nx)}{n^2}.$$

Avaliando de $0$ a $\pi$: em $\pi$ dá $-\pi\cos(n\pi)/n + 0 = -\pi(-1)^n/n$; em $0$ dá $0$. Logo

$$b_n = \frac{2}{\pi}\left(-\frac{\pi(-1)^n}{n}\right) = \frac{2(-1)^{n+1}}{n},$$

e a série é

$$x \sim \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx) = 2\left(\sin x - \frac{\sin 2x}{2} + \frac{\sin 3x}{3} - \dots\right).$$

Os primeiros termos já desenham a reta: com $n = 1$, $2\sin x$ acompanha $x$ perto da origem; somar $- \sin 2x$ corrige a curvatura. Quanto mais harmónicas, melhor o ajuste dentro de $]-\pi, \pi[$.

Convergência e o teorema da representação

Nem sempre a série iguala a função ponto a ponto. O teorema da representação dá condições suficientes: se $f$ é periódica de período $2\pi$, contínua por partes e com derivadas laterais em cada ponto de $[-\pi, \pi]$, então a série de Fourier converge, e a sua soma vale $f(x)$ onde $f$ é contínua.

Nos pontos de salto, a série converge para a média dos limites laterais, $(f(x^-) + f(x^+))/2$. No exemplo do dente de serra, em $x = \pi$ a função salta de $\pi$ para $-\pi$, e a série soma $0$, a média. Este comportamento nos saltos (com o fenómeno de Gibbs nas somas parciais) é normal e esperado, não um erro de cálculo.