Polinómio e série de Taylor

Polinómio de Taylor

Para aproximar $e^x$ perto de zero, começamos com a reta $1+x$, que tem o mesmo valor e a mesma derivada no centro. Como a sua segunda derivada é zero enquanto a da exponencial vale $1$, acrescentar $x^2/2$ corrige essa diferença, e o termo $x^3/6$ faz coincidir também a terceira derivada. É assim que construímos $P_{3,0}$.

O polinómio de Taylor de ordem $n$ de $f$ em $a$ é

$$P_{n,a}(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k.$$

O símbolo $\sum$ manda somar os termos para $k=0,1,\ldots,n$. Usamos $f^{(0)}=f$; para $k\ge1$, $f^{(k)}$ é a derivada de ordem $k$. O fatorial é $k!=1\cdot2\cdots k$, com $0!=1$.

O polinómio tem grau no máximo $n$ e satisfaz $P_{n,a}^{(k)}(a)=f^{(k)}(a)$ para $k=0,\ldots,n$. O fator $k!$ aparece porque derivar $(x-a)^k$ exatamente $k$ vezes dá $k!$.

Para $e^x$ em $a=0$, todas as derivadas valem $1$ no centro:

$$P_{3,0}(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}.$$

Não se trata de uma igualdade com $e^x$ para todos os $x$. A diferença é o resto.

Para ver como igualar as derivadas no centro determina os coeficientes, observa essa construção neste vídeo:

Abrir no YouTube

Resto de Lagrange

Se $f$ tem derivadas contínuas até ordem $n+1$ no segmento entre $a$ e $x$, existe $\xi$ entre esses pontos tal que

$$\begin{gathered} f(x)=P_{n,a}(x)+R_{n,a}(x)\\ R_{n,a}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}. \end{gathered}$$

Não conhecemos $\xi$. Para controlar o erro, procuramos uma cota $M$ para $|f^{(n+1)}|$ em todo o segmento:

$$|f(x)-P_{n,a}(x)|\le\frac{M|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}.$$

Ao aproximar $e^{0{,}1}$ com $P_{3,0}$, obtemos $1{,}105166\ldots$. Em $[0,0{,}1]$, a quarta derivada é $e^x$. Como a exponencial cresce, o máximo no segmento está na extremidade direita: $e^x\le e^{0{,}1}<2$. Tomamos $M=2$. Logo

$$\begin{gathered} |e^{0{,}1}-P_{3,0}(0{,}1)| <\frac{2(0{,}1)^4}{24}\\ =\frac1{120000}. \end{gathered}$$

A cota é inferior a $10^{-5}$. Não substituímos $\xi$ por zero nem pelo ponto final sem uma justificação.

Taylor de x ln x no centro um

Seja $f(x)=x\ln x$, $x>0$, com centro $a=1$. O valor da função é $f(1)=0$; a primeira derivada é $f'(x)=\ln x+1$, com $f'(1)=1$. Para $k\ge2$,

$$f^{(k)}(x)=(-1)^k(k-2)!x^{1-k}.$$

Verifica os primeiros casos: $f''=1/x$, $f'''=-1/x^2$ e $f^{(4)}=2/x^3$. A fórmula conserva o sinal e o fatorial ao derivar novamente.

Dividindo cada derivada em $1$ pelo fatorial, obtemos para $n\ge2$:

$$\begin{gathered} P_{n,1}(x)\\ =(x-1)+\sum_{k=2}^{n} \frac{(-1)^k}{k(k-1)}(x-1)^k. \end{gathered}$$

Por exemplo, $P_{3,1}(x)=(x-1)+(x-1)^2/2-(x-1)^3/6$. O resto de ordem $n$ é

$$R_{n,1}(x)=\frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)\xi^n}(x-1)^{n+1},$$

com $\xi$ entre $1$ e $x$. Esta forma exige que o segmento fique em $]0,+\infty[$, onde $f$ tem as derivadas contínuas necessárias.

Da fórmula à série de Taylor

Se $f$ tem derivadas de todas as ordens em torno de $a$, podemos formar a série

$$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k.$$

Para afirmar que a soma é $f(x)$, precisamos de $R_{n,a}(x)\to0$. Ter todas as derivadas não garante essa igualdade. A função que vale $e^{-1/x^2}$ para $x\ne0$ e zero em $x=0$ tem todas as derivadas nulas em zero. A sua série de Taylor é zero, mas a função é positiva fora de zero.

As séries usadas com mais frequência são

$$\begin{gathered} e^x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}\\ \sin x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!}\\ \cos x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}, \end{gathered}$$

válidas para todo o real $x$. Para a geométrica e o logaritmo,

$$\begin{gathered} \frac1{1-x}=\sum_{k=0}^{\infty}x^k\\ (|x|<1)\\ \ln(1+x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}x^k}{k}\\ (-1<x\le1). \end{gathered}$$

O extremo $x=1$ do logaritmo exige estudar a série alternada. Em $x=-1$, a função não está definida e a série diverge.

O exemplo $x\ln x$ também dá uma série num centro diferente de zero. Multiplica a série de $\ln(1+h)$ por $1+h$, com $h=x-1$. Agrupar os coeficientes dá

$$\begin{gathered} x\ln x\\ =(x-1)+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k(k-1)}(x-1)^k\\ 0<x\le2. \end{gathered}$$

O raio é um. Em $x=2$, a série converge absolutamente. Em $x=0$, a série também converge e soma zero, mas a função original não está definida; esse valor só corresponde à extensão contínua de $x\ln x$ em zero. Convergência da série e domínio da função são questões distintas.

Ver justificação dos extremos

Nos extremos, os módulos são $1/[k(k-1)]=1/(k-1)-1/k$. A soma destes módulos, para $k\ge2$, é $1$ por cancelamento. Em $x=0$, o primeiro termo é $-1$ e os restantes somam $1$, dando zero. Para $|x-1|\le1$, a cauda depois de $k=N$ tem módulo no máximo $1/N$, independentemente de $x$. Esse controlo permite passar ao limite $x\to2^-$ na igualdade e incluir $x=2$.

Uma composição pode evitar muitas derivadas. Como a série da exponencial vale em todo o domínio,

$$\begin{gathered} x^3e^{-2x^2}=x^3\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-2x^2)^k}{k!}\\ =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-2)^k x^{2k+3}}{k!}. \end{gathered}$$

Os primeiros termos são $x^3-2x^5+2x^7-\frac43x^9+\cdots$.

Séries de potências e extremos

Uma série $\sum c_k(x-a)^k$ tem um raio de convergência $R\in[0,+\infty]$. Converge absolutamente se $|x-a|<R$ e diverge se $|x-a|>R$. Nos pontos $a-R$ e $a+R$, quando $R$ é finito e positivo, estudamos cada série separadamente.

Para

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(x-2)^k}{k\,3^k},$$

a razão dos módulos de termos sucessivos tende para $|x-2|/3$. Temos convergência absoluta quando $|x-2|<3$, ou seja, $-1<x<5$. Em $x=-1$ surge $\sum(-1)^k/k$, convergente; em $x=5$, a série harmónica diverge. O intervalo é $[-1,5[$.

Dentro do intervalo aberto de convergência, podemos derivar e integrar uma série de potências termo a termo. Esta operação conserva o raio, mas o comportamento nos extremos pode mudar e tem de ser verificado de novo. Por exemplo, integrar a geométrica dá a série do logaritmo; só depois verificamos os extremos.