Volumes de revolução e coordenadas polares

Secções transversais, discos e arandelas

Para calcular um volume, corta o sólido em fatias e identifica a área de cada corte. Uma secção perpendicular ao eixo de rotação pode ter um furo, que tem de ser retirado antes de somar os volumes.

Se $A(x)$ é a área da secção perpendicular ao eixo $x$, o volume é

$$V=\int_a^b A(x)\,dx.$$

Uma pirâmide de altura $h$ com base quadrada de lado $s$ tem, à distância $x$ da base, secções quadradas de lado $s(1-x/h)$. Assim,

$$V=\int_0^h s^2(1-x/h)^2\,dx=\frac{s^2h}{3}.$$

Num sólido de revolução, uma secção perpendicular ao eixo é um disco de raio $R$ ou uma arandela com raio exterior $R$ e interior $r$. A área é $\pi R^2$ ou $\pi(R^2-r^2)$, com $R\ge r\ge0$.

Eixo de rotação deslocado

Considera a região entre $y=x^2$ e $y=4$, $-2\le x\le2$, rodada em torno de $y=5$. O eixo está acima da região, por isso o raio exterior é a distância à curva mais baixa, $R=5-x^2$, e o raio interior é $r=5-4=1$.

Na animação, segue a faixa em $x=1$: ao rodar, ocupa os raios entre $1$ e $4$ e deixa um furo no centro, ou seja, cada valor de $x$ dá uma arandela com os seus próprios raios.

$$\begin{gathered} V=\pi\int_{-2}^2[(5-x^2)^2-1]dx\\ =\pi\int_{-2}^2(24-10x^2+x^4)dx. \end{gathered}$$

A função é par. Dobrando o integral em $[0,2]$,

$$\begin{gathered} V=2\pi\bigl[24x-\frac{10x^3}{3}+\frac{x^5}{5}\bigr]_0^2\\ =\frac{832\pi}{15}. \end{gathered}$$

“Curva de cima” não significa sempre “raio exterior”. A distância ao eixo decide. Se o eixo atravessa uma faixa da região, a rotação dessa faixa pode dar um disco cheio; não uses automaticamente a diferença de dois quadrados.

Quando o eixo atravessa a região

Se uma faixa vertical vai de $y=g(x)$ a $y=f(x)$ e contém o eixo $y=k$, a sua rotação dá um disco cheio. Todos os raios desde zero até à extremidade mais distante ficam ocupados:

$$R(x)=\max\{|f(x)-k|,|g(x)-k|\},\qquad r(x)=0.$$

Não há um disco interior para subtrair. Se a extremidade mais distante muda ao longo de $x$, divide o integral onde as duas distâncias se igualam.

Por exemplo, roda a região $0\le x\le1$, $-x\le y\le2x$ em torno de $y=0$. Cada faixa atravessa o eixo e o raio exterior é $2x$, porque $2x\ge x$. Portanto

$$V=\pi\int_0^1(2x)^2\,dx=\frac{4\pi}{3}.$$

Subtrair $(2x)^2-(-x)^2$ daria o volume de uma arandela com um furo de raio $x$. Esse furo não existe: a parte da faixa entre zero e $2x$ já preenche todo o disco. Somar separadamente os volumes das partes acima e abaixo do eixo também contaria duas vezes a região de raio até $x$.

Cascas cilíndricas

Quando a faixa é paralela ao eixo de rotação, rodá-la gera uma casca: uma parede cilíndrica de raio $\rho$, altura $H$ e espessura pequena. O seu volume aproximado é circunferência vezes altura vezes espessura, $2\pi\rho H\,dx$. Somando as cascas sem sobreposição,

$$V=2\pi\int_a^b \rho(x)H(x)\,dx,$$

com $\rho$ igual à distância ao eixo. Para eixo vertical $x=p$, $\rho=|x-p|$. As faixas devem ficar num lado do eixo ou ser escolhidas de forma a não contar o mesmo raio duas vezes.

A região entre $y=x^2$ e $y=2x$, $0\le x\le2$, rodada em torno do eixo $y$, tem $\rho=x$ e $H=2x-x^2$:

$$\begin{gathered} V=2\pi\int_0^2x(2x-x^2)\,dx\\ =2\pi\bigl[\frac{2x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\bigr]_0^2\\ =\frac{8\pi}{3}. \end{gathered}$$

Por arandelas, usa faixas horizontais. Para $0\le y\le4$, a região vai de $x=y/2$ a $x=\sqrt y$, portanto

$$V=\pi\int_0^4[y-y^2/4]dy=\frac{8\pi}{3}.$$

Os dois métodos descrevem o mesmo sólido. Escolhe o que evita inversões e divisões em demasiados intervalos.

Coordenadas polares

Um ponto polar $(r,\theta)$ corresponde a

$$x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.$$

A representação não é única: $(r,\theta)$ e $(r,\theta+2\pi)$ representam o mesmo ponto; $(-r,\theta)$ é equivalente a $(r,\theta+\pi)$. Um raio negativo coloca o ponto no sentido oposto ao indicado pelo ângulo.

Para desenhar $r=f(\theta)$, procura zeros, simetrias e valores em ângulos simples. A equação $r=2\cos\theta$ dá $r^2=2r\cos\theta$, ou seja $x^2+y^2=2x$. É a circunferência de centro $(1,0)$ e raio $1$.

Áreas em coordenadas polares

Um setor de raio $r$ e ângulo $\Delta\theta$ tem área $r^2\Delta\theta/2$. Para uma curva que descreve a fronteira uma única vez entre $\alpha$ e $\beta$,

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta r(\theta)^2\,d\theta.$$

Para a circunferência $r=2\cos\theta$, escolhe $-\pi/2\le\theta\le\pi/2$: aqui $r\ge0$ e a curva é percorrida uma vez, com área $\frac12\int_{-\pi/2}^{\pi/2}4\cos^2\theta\,d\theta=\pi$.

De $0$ a $2\pi$, percorrerias a curva duas vezes e obterias o dobro: o quadrado de $r$ elimina o sinal mas não corrige uma parametrização repetida.

Para a cardioide $r=1+\cos\theta\ge0$, um percurso completo é $0\le\theta\le2\pi$:

$$\begin{gathered} A=\frac12\int_0^{2\pi}(1+2\cos\theta+\cos^2\theta)d\theta\\ =\frac12(2\pi+0+\pi)\\ =\frac{3\pi}{2}. \end{gathered}$$

Entre duas curvas com $0\le r_{\text{int}}\le r_{\text{ext}}$ nos mesmos ângulos,

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta (r_{\text{ext}}^2-r_{\text{int}}^2)\,d\theta.$$

Resolve as interseções e confirma qual a curva exterior em cada intervalo. Duas curvas também podem encontrar-se na origem com valores diferentes de $\theta$.

Interseção de regiões polares

A interseção dos discos $0\le r\le2\cos\theta$ e $0\le r\le1$ não é a diferença das áreas. No primeiro disco, usamos $-\pi/2\le\theta\le\pi/2$, onde $2\cos\theta\ge0$. Os encontros estão em $\theta=\pm\pi/3$, porque $2\cos\theta=1$.

Para pertencer aos dois discos, o ponto tem de respeitar o menor dos dois raios. Se $|\theta|\le\pi/3$, a fronteira é $r=1$; nos restantes ângulos do intervalo, é $r=2\cos\theta$. No desenho, segue os raios até aos pontos marcados e compara as duas partes da fronteira sombreada.

A simetria em relação ao eixo horizontal permite dobrar a metade superior. Esse fator cancela o $1/2$ da fórmula polar:

$$A=\int_0^{\pi/3}1\,d\theta +\int_{\pi/3}^{\pi/2}4\cos^2\theta\,d\theta.$$

A primeira parcela vale $\pi/3$. Na segunda, $4\cos^2\theta=2+2\cos(2\theta)$, por isso

$$\int_{\pi/3}^{\pi/2}4\cos^2\theta\,d\theta =\left[2\theta+\sin(2\theta)\right]_{\pi/3}^{\pi/2}.$$

O valor é $\pi/3-\sqrt3/2$. Somando,

$$A=\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{2}\approx1{,}23.$$

A área é menor do que $\pi$, a área de cada disco, como exige a inclusão da interseção em ambos.