Derivadas e regras de derivação

O conceito de derivada

Para $f(x)=x^2$, a taxa média entre $x=1$ e $x=1+h$ é $[(1+h)^2-1]/h=2+h$, com $h\ne0$. Se diminuirmos $|h|$, esta taxa aproxima-se de $2$. A derivada descreve esse limite, não uma divisão por zero.

A derivada de $f$ num ponto interior $a$ é o limite finito

$$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h,$$

quando existe. Enquanto $h$ se aproxima de zero continua diferente de zero, por isso não substituímos $h=0$ no quociente.

Para $f(x)=x^2$,

$$\begin{gathered} \frac{f(a+h)-f(a)}h\\ =\frac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}\\ =2a+h, \end{gathered}$$

por isso $f'(a)=2a$. Em $a=1$, a tangente tem declive $2$ e equação $y=1+2(x-1)$.

Na figura, aproxima $h$ de zero e observa a secante a tender para a tangente em $(1,1)$, porque o seu declive $2+h$ tende para $2$ em ambos os lados; o vídeo mostra a mesma passagem da taxa média para o limite das secantes:

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A reta tangente em $(a,f(a))$ é $y-f(a)=f'(a)(x-a)$. Se $s(t)$ é posição, $s'(t)$ é velocidade e $s''(t)$ é aceleração. As unidades também se dividem. Posição em metros e tempo em segundos dão uma derivada em metros por segundo.

Uma função derivável em $a$ é contínua aí. Para perceber porquê, escreve $f(a+h)-f(a)=h\,[f(a+h)-f(a)]/h$. O primeiro fator tende para zero e o segundo para o número $f'(a)$, logo a diferença tende para zero.

O recíproco falha. Para $f(x)=|x|$ em zero, o quociente incremental é $-1$ se $h<0$ e $1$ se $h>0$. A função é contínua, mas não tem derivada. Uma tangente vertical também não dá uma derivada real finita.

Regras básicas

Se $u,v$ são deriváveis e $c$ é constante,

$$\begin{gathered} (cu)'=cu'\\ (u+v)'=u'+v'\\ (uv)'=u'v+uv'\\ \bigl(\frac uv\bigr)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}. \end{gathered}$$

A regra do quociente exige $v\ne0$. No produto não multiplicamos simplesmente as derivadas. Por exemplo, $(x^2e^x)'=2xe^x+x^2e^x=e^x(x^2+2x)$.

$f(x)$	$f'(x)$	Condição
$x^\alpha$	$\alpha x^{\alpha-1}$	Para $\alpha$ real, usa $x>0$; potências inteiras admitem mais pontos
$e^x$	$e^x$	$x\in\mathbb R$
$a^x$	$a^x\ln a$	$a>0$
$\ln\lvert x\rvert$	$1/x$	$x\ne0$
$\log_a x$	$1/(x\ln a)$	$x>0$, $a>0$, $a\ne1$
$\sin x$, $\cos x$	$\cos x$, $-\sin x$	Radianos
$\tan x$, $\cot x$	$\sec^2x$, $-\csc^2x$	Onde as funções existem
$\sec x$, $\csc x$	$\sec x\tan x$, $-\csc x\cot x$	Onde as funções existem

Em $x^0=1$, a derivada é zero. Não uses a expressão $0x^{-1}$ em $x=0$ para concluir que a constante deixa de ser derivável.

Regra da cadeia

Para $f(x)=u(v(x))$,

$$f'(x)=u'(v(x))v'(x).$$

Para escolher as camadas, lê a expressão de fora para dentro: a última operação aplicada é a camada exterior. Em $f(x)=\sin(x^2)$, a última operação é o seno, por isso a função exterior é $\sin u$ com $u=x^2$. A derivada exterior é o cosseno avaliado em $u$, e a interior é $2x$. Logo $f'(x)=2x\cos(x^2)$. Derivar $\sin$ em $x^2$ sem a cadeia daria $\cos(x^2)$, sem o fator $2x$.

Para $g(x)=\ln(1+e^{x^2})$, há três camadas: o logaritmo é a operação mais exterior, depois a exponencial e por fim o quadrado. Derivamos por essa ordem, de fora para dentro:

$$g'(x)=\frac{1}{1+e^{x^2}}\,e^{x^2}\,2x.$$

Um exemplo com quociente e cadeia é $f(x)=\sin(x^2)/(1+x)$, $x\ne-1$, onde o denominador da derivada é a função original ao quadrado, não a sua derivada ao quadrado:

$$\begin{gathered} f'(x)\\ =\frac{2x\cos(x^2)(1+x)-\sin(x^2)}{(1+x)^2}. \end{gathered}$$

Segunda derivada de uma composição

Se $f$ é duas vezes derivável num intervalo que contém a imagem de $u$, e $u$ é duas vezes derivável no seu domínio, a primeira derivada de $y(x)=f(u(x))$ é um produto: $y'=f'(u)u'$. Para derivar outra vez, usamos produto e cadeia:

$$y''=f''(u)(u')^2+f'(u)u''.$$

O primeiro termo vem de derivar $f'(u)$, que produz outro fator $u'$. O segundo vem de derivar o fator $u'$ já presente. Não basta multiplicar $f''(u)$ por $u''$.

Para $y(x)=\sin(x^2)$, temos $u=x^2$, $u'=2x$ e $u''=2$. Logo

$$y''(x)=-4x^2\sin(x^2)+2\cos(x^2).$$

Confere diretamente a partir de $y'=2x\cos(x^2)$: derivar $2x$ dá a parcela $2\cos(x^2)$, e derivar o cosseno dá $-4x^2\sin(x^2)$. As duas parcelas são necessárias, mesmo em zero, onde a segunda derivada vale $2$.

Derivação implícita

Na relação $x^2+y^2=25$, $y$ varia com $x$. Num ramo derivável, a cadeia dá

$$\begin{gathered} 2x+2yy'=0\\ \Longrightarrow y'=-\frac xy\\ y\ne0. \end{gathered}$$

Em $(3,4)$, a tangente é $y-4=-3(x-3)/4$. Confere por substituição: derivar $y=-3x/4+25/4$ dá $-3/4$, e em $x=3$ a fórmula $y'=-x/y$ dá $-3/4$. Nos pontos com $y=0$, esta fórmula não se aplica. A circunferência tem aí tangentes verticais e não é localmente o gráfico de uma função derivável $y(x)$.

Derivadas das funções trigonométricas e inversas

Se $f$ é uma função estritamente monótona e contínua num intervalo, a inversa está definida na sua imagem. Se $f$ é derivável em $a$ e $f'(a)\ne0$, então

$$(f^{-1})'(f(a))=\frac1{f'(a)}.$$

Derivar a identidade $f(f^{-1}(y))=y$ pela cadeia dá $f'(f^{-1}(y))(f^{-1})'(y)=1$. Repara que o ponto muda de $a$ para $f(a)$.

Para $y=\arctan x$, temos $x=\tan y$ e $dx/dy=1+\tan^2y=1+x^2$. Logo

$$(\arctan x)'=\frac1{1+x^2}.$$

As restantes fórmulas são

$$\begin{gathered} (\arcsin x)'=\frac1{\sqrt{1-x^2}}\\ (\arccos x)'=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}\\ (\operatorname{arccot}x)'=-\frac1{1+x^2}. \end{gathered}$$

As duas primeiras exigem $|x|<1$. Para a arco-cotangente usamos a convenção $]0,\pi[$ definida na página anterior.

Para os ramos de arco-secante e arco-cossecante definidos na tabela das inversas,

$$\begin{gathered} (\operatorname{arcsec}x)'=\frac1{|x|\sqrt{x^2-1}}\\ (\operatorname{arccsc}x)'=-\frac1{|x|\sqrt{x^2-1}}\\ (|x|>1). \end{gathered}$$

Por exemplo, deriva $\arccos(1/x)$ pela cadeia. Fica $1/[x^2\sqrt{1-1/x^2}]$. Como $\sqrt{1-1/x^2}=\sqrt{x^2-1}/|x|$, surge o valor absoluto no denominador. Conserva-o também para $x<0$: a fórmula da tabela exige $|x|>1$ dos dois lados.

Outro uso evita resolver uma equação cúbica. Se $f(x)=x+x^3$, então $f(1)=2$ e $f'(1)=4$. Sem calcular a inversa explicitamente, sabemos que $(f^{-1})'(2)=1/4$. A condição $f'(a)\ne0$ não pode desaparecer. A inversa de $x^3$ não tem derivada finita em zero.

Potências com expoente variável

Para $f(x)=u(x)^{v(x)}$ com $u(x)>0$, escreve $\ln f=v\ln u$. Derivando,

$$\begin{gathered} \frac{f'}f=v'\ln u+v\frac{u'}u\\ f'=u^v\bigl(v'\ln u+v\frac{u'}u\bigr). \end{gathered}$$

Para $f(x)=(\arctan x)^{x^2}$, trabalhamos em $x>0$, para a base ser positiva. Então

$$\begin{gathered} f'(x)\\ =(\arctan x)^{x^2} \bigl(2x\ln(\arctan x)+\frac{x^2}{(1+x^2)\arctan x}\bigr). \end{gathered}$$

A regra $\alpha x^{\alpha-1}$ pressupõe expoente constante, por isso seria incorreta aqui.