Estudo de funções e otimização

Monotonia e extremos

Num intervalo onde $f$ é derivável, $f'>0$ implica crescimento estrito e $f'<0$ implica decrescimento estrito, por Lagrange. Se $f'\ge0$, temos crescimento não estrito.

A função $x^3$ mostra que uma função estritamente crescente pode ter derivada zero num ponto. O sinal da derivada classifica a monotonia, mas um zero isolado não a quebra.

Um ponto crítico interior é um ponto do domínio onde $f'=0$ ou a derivada não existe. Para o classificar, olha para o sinal de $f'$ de cada lado:

• De positivo para negativo, há máximo local.
• De negativo para positivo, há mínimo local.
• Sem mudança de sinal, o teste não dá um extremo.

Este teste exige continuidade no candidato, e $f'$ não precisa de existir nele. A função que vale $x^2$ fora de zero e $100$ em zero tem $f'(x)=2x$ para $x\ne0$: negativa à esquerda e positiva à direita, mas zero é um máximo local, não um mínimo. Sem continuidade, a mudança de sinal da derivada não decide.

Quando $f'(c)=0$, a segunda derivada pode classificar: se $f''(c)>0$, há mínimo local; se $f''(c)<0$, há máximo local. Se $f''(c)=0$, este teste não decide. Tanto $x^4$ como $x^3$ têm segunda derivada zero em zero; só a primeira tem extremo aí.

Para encontrar extremos absolutos de uma função contínua em $[a,b]$, compara os valores em todos os pontos críticos interiores e nos dois extremos; num intervalo aberto ou ilimitado, porém, a existência de máximo ou mínimo não é garantida.

Concavidade e pontos de inflexão

Se $f''>0$ num intervalo, o gráfico tem concavidade voltada para cima; se $f''<0$, voltada para baixo.

Um ponto de inflexão é um ponto do gráfico onde a concavidade muda. Procuramos zeros de $f''$ e pontos onde $f''$ não existe, mas confirmamos a mudança. A condição $f''(c)=0$ sozinha não chega, como mostra $x^4$ em zero. Um ponto fora do domínio nunca é ponto de inflexão.

Assíntotas

Há assíntota vertical $x=a$ se pelo menos um limite lateral de $f$ em $a$ é infinito. Há assíntota horizontal $y=L$ numa direção se $f(x)\to L$ nessa direção.

Para uma assíntota oblíqua $y=mx+b$, exige-se

$$\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-(mx+b)]=0.$$

Quando os limites existem, calcula $m=\lim f(x)/x$ e depois $b=\lim[f(x)-mx]$. Trata $+\infty$ e $-\infty$ separadamente. Uma função pode atravessar uma assíntota horizontal ou oblíqua; a condição descreve o comportamento no infinito.

Função racional com assíntota oblíqua

Considera $f(x)=x+1/x$, de domínio $\mathbb R\setminus\{0\}$. A função é ímpar e não tem zeros reais, pois $x+1/x=0$ daria $x^2+1=0$.

Perto de zero, $1/x$ domina. O limite à esquerda é $-\infty$ e à direita é $+\infty$, logo $x=0$ é assíntota vertical. No infinito,

$$f(x)-x=\frac1x\to0,$$

por isso $y=x$ é assíntota oblíqua nas duas direções.

As derivadas são

$$\begin{gathered} f'(x)=1-\frac1{x^2}\\ =\frac{x^2-1}{x^2}\\ f''(x)=\frac2{x^3}. \end{gathered}$$

Como $x^2>0$ no domínio, o sinal de $f'$ depende apenas de $x^2-1$:

Intervalo	$f'$	Variação
$]-\infty,-1[$	$+$	Cresce
$]-1,0[$	$-$	Decresce
$]0,1[$	$-$	Decresce
$]1,+\infty[$	$+$	Cresce

Há máximo local em $(-1,-2)$ e mínimo local em $(1,2)$. Cada linha do quadro corresponde a um ramo do desenho: o sinal de $f'$ diz se esse ramo sobe ou desce, e os limites dizem de onde vem e para onde vai. Nenhum extremo é absoluto em todo o domínio, porque a função é ilimitada nos dois sentidos. No ramo negativo, a concavidade é voltada para baixo; no positivo, para cima. Não há inflexão em zero, porque zero não pertence ao domínio.

O gráfico permite ler também a imagem, $]-\infty,-2]\cup[2,+\infty[$, a partir dos extremos de cada ramo e dos respetivos limites.

Otimização

Para maximizar ou minimizar uma grandeza, escolhe uma variável, escreve a grandeza em função dela e encontra o domínio físico. Só depois deriva. No fim, verifica extremos, fronteiras e o significado do resultado.

Um retângulo tem perímetro $20$ m. Se um lado mede $x$, o outro mede $10-x$, com $0<x<10$. A área é

$$\begin{gathered} A(x)=x(10-x)\\ A'(x)=10-2x. \end{gathered}$$

O único ponto crítico é $x=5$. Como $A'>0$ antes e $A'<0$ depois, a área máxima é $25$ m$^2$, atingida pelo quadrado de lado $5$ m. Nas fronteiras, a área tende para zero, por isso não existe um retângulo não degenerado de área mínima, pois $x=0$ e $x=10$ não pertencem ao domínio; em geral, uma solução algébrica fora do domínio deve ser excluída mesmo que anule a derivada.