Primitivação por substituição e por partes

Primitivas e constantes

Uma primitiva de $f$ num intervalo é uma função $F$ com $F'=f$. Por exemplo, como a derivada de $x^2$ é $2x$, $x^2$ é uma primitiva de $2x$. Se $F$ é uma primitiva, todas as outras nesse intervalo são $F+C$, por Lagrange. Escrevemos $\int f(x)\,dx=F(x)+C$. Em componentes diferentes do domínio, as constantes podem ser diferentes.

Primitivas imediatas

A tabela de primitivas é a tabela de derivadas lida ao contrário:

Integral	Primitiva	Condição
$\int x^\alpha\,dx$	$x^{\alpha+1}/(\alpha+1)+C$	$\alpha\ne-1$, num intervalo do domínio
$\int dx/x$	$\ln\lvert x\rvert+C$	$x\ne0$
$\int e^x\,dx$	$e^x+C$
$\int a^x\,dx$	$a^x/\ln a+C$	$a>0$, $a\ne1$
$\int\cos x\,dx$	$\sin x+C$
$\int\sin x\,dx$	$-\cos x+C$
$\int\sec^2x\,dx$	$\tan x+C$	Onde definida
$\int dx/(1+x^2)$	$\arctan x+C$
$\int dx/\sqrt{1-x^2}$	$\arcsin x+C$	$\lvert x\rvert<1$

A linearidade permite integrar somas termo a termo e retirar constantes. Não permite multiplicar primitivas. Em geral, $\int fg$ não é $(\int f)(\int g)$.

Primitivação por substituição

A regra da cadeia dá $[F(g(x))]'=F'(g(x))g'(x)$. Lendo ao contrário,

$$\begin{gathered} \int f(g(x))g'(x)\,dx=F(g(x))+C\\ F'=f. \end{gathered}$$

A escrita $u=g(x)$, $du=g'(x)\,dx$ organiza a mudança de variável. Depois da substituição, todo o integrando deve ficar escrito em $u$.

Para $\int2xe^{x^2}\,dx$, escolhemos $u=x^2$ porque a sua derivada $2x$ já aparece. Obtemos $\int e^u\,du=e^u+C=e^{x^2}+C$.

Se falta só uma constante, corrige-a. Em $\int x/(1+x^2)\,dx$, $du=2x\,dx$, por isso

$$\begin{gathered} \int\frac{x}{1+x^2}\,dx=\frac12\int\frac{du}{u}\\ =\frac12\ln(1+x^2)+C. \end{gathered}$$

O argumento é sempre positivo. Em $\int f'/f$, a forma geral é $\ln|f|+C$ num intervalo onde $f\ne0$.

Um exemplo que exige substituir também o numerador é

$$\int\frac{x}{\sqrt{3-2x}}\,dx,\qquad x<\frac32.$$

Com $u=3-2x$, $x=(3-u)/2$ e $dx=-du/2$. Então

$$\begin{gathered} -\frac14\int(3-u)u^{-1/2}\,du\\ =-\frac32\sqrt u+\frac16u^{3/2}+C. \end{gathered}$$

Voltando à variável inicial, a primitiva é $-\frac32\sqrt{3-2x}+\frac16(3-2x)^{3/2}+C$. Derivar recupera $x/\sqrt{3-2x}$.

Nos integrais definidos, muda também os limites:

$$\int_0^1\frac{2x}{1+x^2}\,dx =\int_1^2\frac{du}{u}=\ln2.$$

Podes, em alternativa, voltar a $x$ antes de usar os limites originais. Não mistures uma primitiva em $u$ com limites em $x$.

Primitivação por partes

Da regra do produto, $(uv)'=u'v+uv'$, obtemos

$$\int u\,dv=uv-\int v\,du.$$

Escolhe $u$ para que derivar o simplifique, e $dv$ para que seja fácil encontrar $v$. Não é uma regra automática: a escolha deve tornar o integral restante mais simples.

Para $\int xe^{2x}\,dx$, toma $u=x$, $du=dx$, $dv=e^{2x}dx$ e $v=e^{2x}/2$. Assim,

$$\begin{gathered} \int xe^{2x}\,dx=\frac{xe^{2x}}2-\frac12\int e^{2x}\,dx\\ =e^{2x}\bigl(\frac x2-\frac14\bigr)+C. \end{gathered}$$

Derivando, os termos $e^{2x}/2$ e $-e^{2x}/2$ cancelam-se, sobrando $xe^{2x}$.

Mesmo sem um produto explícito, podemos tomar $dv=dx$. Para $\int\ln x\,dx$, $x>0$, escolhe $u=\ln x$ e $v=x$:

$$\begin{gathered} \int\ln x\,dx=x\ln x-\int1\,dx\\ =x\ln x-x+C. \end{gathered}$$

Nos integrais definidos, $\int_a^bu\,v'=[uv]_a^b-\int_a^bu'v$. Para $\int_0^1x\ln(1+x)\,dx$, toma $u=\ln(1+x)$ e $v=x^2/2$. A parte integrada vale $\ln2/2$. No integral restante, divide o quociente:

$$\frac{x^2}{1+x}=x-1+\frac1{1+x}.$$

Integrar termo a termo dá $[x^2/2-x+\ln(1+x)]_0^1=-1/2+\ln2$. Logo

$$\begin{gathered} \int_0^1x\ln(1+x)\,dx\\ =\frac12\ln2-\frac12\bigl(\frac12-1+\ln2\bigr)\\ =\frac14. \end{gathered}$$

Quando o integral volta a aparecer

Para $I=\int e^x\cos x\,dx$, duas aplicações de partes dão

$$I=e^x\cos x+\int e^x\sin x\,dx,$$ $$\int e^x\sin x\,dx=e^x\sin x-I.$$

Portanto $2I=e^x(\sin x+\cos x)$, até uma constante, e

$$I=\frac{e^x}{2}(\sin x+\cos x)+C.$$

O regresso do integral inicial não significa que a técnica falhou: permite resolver uma equação em $I$.

Primitivas de funções contínuas definidas por ramos

Seja

$$f(x)=\begin{cases}2x,&x\le0,\\x^2,&x>0.\end{cases}$$

Os dois limites em zero e $f(0)$ valem zero. Integramos cada ramo e procuramos uma primitiva em todo o real:

$$F(x)=\begin{cases}x^2+C_1,&x\le0,\\x^3/3+C_2,&x>0.\end{cases}$$

A continuidade em zero exige $C_1=C_2=C$. Ainda precisamos de verificar a derivada no ponto de união. Pela esquerda, $[F(h)-F(0)]/h=h\to0$; pela direita, o quociente é $h^2/3\to0$. Logo $F'(0)=0=f(0)$. Nos restantes pontos, derivar cada ramo confirma $F'=f$.

Usar constantes diferentes criaria um salto em $F$, incompatível com a existência da derivada em zero.

Erros frequentes

Mantém $+C$ no resultado indefinido, pois um integral definido é um número e não leva $+C$. Verifica o fator da derivada interior e o sinal em partes, e no fim deriva a expressão obtida, que é a verificação direta da primitiva.

Para uma revisão em vídeo da integração, podes acompanhar Rodrigo Dias:

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