Equações diferenciais ordinárias

Ordem e linearidade

Uma equação diferencial ordinária, ou EDO, relaciona uma função desconhecida $y(x)$ com as suas derivadas. A ordem é a da derivada mais alta presente. Resolver é encontrar funções que satisfaçam a equação num intervalo.

Uma EDO é linear se $y$ e as suas derivadas aparecem à primeira potência, sem produtos entre si, e os coeficientes dependem apenas de $x$. Assim, $y'+xy=\sin x$ é linear, mas $y'=y^2$ não é. Uma linear é homogénea quando o termo independente é zero. Não confundas isto com a outra noção de “homogénea” usada abaixo em primeira ordem.

Uma solução geral contém constantes arbitrárias. Um problema de valor inicial acrescenta valores de $y$ e, em ordens superiores, das derivadas num ponto, e devemos indicar o intervalo onde a solução e os cálculos estão definidos.

Variáveis separáveis

Se $y'=f(x)g(y)$ e $g(y)\ne0$, podemos escrever

$$\begin{gathered} \frac{dy}{g(y)}=f(x)dx\\ \Longrightarrow \int\frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx. \end{gathered}$$

Em $y'=xy$, a função $y=0$ é solução. Para $y\ne0$,

$$\begin{gathered} \int\frac{dy}{y}=\int xdx\\ \Longrightarrow \ln|y|=\frac{x^2}{2}+C. \end{gathered}$$

Logo $y=Ke^{x^2/2}$, com $K\in\mathbb R$. O valor $K=0$ recupera a solução constante. Se $y(0)=2$, temos $K=2$. A verificação é $y'=xKe^{x^2/2}=xy$.

Já em $y'=y^2$, as soluções não nulas são $y=1/(C-x)$, e $y=0$ é separada. Com $y(0)=1$, a solução é $1/(1-x)$ no maior intervalo que contém zero sem atravessar a singularidade, $]-\infty,1[$.

Equações homogéneas de primeira ordem

Uma equação da forma $y'=F(y/x)$, com $x\ne0$, usa $v=y/x$. Como $y=xv(x)$, a derivada é $y'=v+xv'$. Então

$$xv'=F(v)-v.$$

A equação resultante é separável. Verifica também os valores constantes de $v$ que anulam $F(v)-v$, antes de dividir.

Para $y'=1+y/x$, temos $v+xv'=1+v$, logo $v'=1/x$. Assim $v=\ln|x|+C$ e

$$y=x(\ln|x|+C),\qquad x\ne0.$$

Derivando, $y'=\ln|x|+C+1=1+y/x$. Trabalhamos em $]0,+\infty[$ ou $]-\infty,0[$, com uma constante em cada intervalo.

Lineares de primeira ordem e Bernoulli

Para $y'+P(x)y=Q(x)$, usa o fator integrante

$$\mu(x)=e^{\int P(x)dx}.$$

Como $\mu'=P\mu$, o lado esquerdo depois de multiplicar é $(\mu y)'$. Por isso

$$y=\frac1\mu\left(\int\mu Q\,dx+C\right).$$

A constante na primitiva de $P$ apenas multiplica $\mu$ por uma constante não nula; podemos escolher uma primitiva qualquer. Se $P,Q$ são contínuas num intervalo que contém $x_0$, o problema com $y(x_0)=y_0$ tem uma única solução nesse intervalo.

Para $y'+2y=e^{-x}$, escolhemos $\mu=e^{2x}$. A multiplicação transforma a equação em

$$e^{2x}y'+2e^{2x}y=e^x \quad\Longrightarrow\quad (e^{2x}y)'=e^x.$$

Integrar dá $e^{2x}y=e^x+C$, logo $y=e^{-x}+Ce^{-2x}$. Se $y(0)=2$, então $1+C=2$ e $C=1$. A derivada é $-e^{-x}-2e^{-2x}$; somar $2y$ deixa apenas $e^{-x}$, confirmando a equação.

Uma equação de Bernoulli tem forma $y'+Py=Qy^n$, $n\ne0,1$. O termo $y^n$ impede o uso direto do fator integrante. Para soluções não nulas, multiplica por $y^{-n}$ e toma $v=y^{1-n}$. Pela cadeia, $v'=(1-n)y^{-n}y'$ e a equação lineariza:

$$v'+(1-n)Pv=(1-n)Q.$$

É uma linear em $v$. No fim, volta a $y$ e verifica soluções excluídas pela divisão.

Por exemplo, em $y'+y=y^2$, toma $v=1/y$. A equação passa a $v'-v=-1$. O fator integrante é $e^{-x}$ e

$$\begin{gathered} (e^{-x}v)'=-e^{-x}\\ \Longrightarrow v=1+Ce^x\\ y=\frac1{1+Ce^x}. \end{gathered}$$

Também há a solução $y=0$. Escolhe intervalos onde o denominador não se anula. $y=1$ aparece com $C=0$.

Segunda ordem: para onde seguir

Uma equação como $y''+y=\sin x$ já não se resolve com as técnicas acima: a homogénea precisa de duas constantes e o termo independente pede uma particular construída para a ordem dois. A página seguinte trata a característica e os problemas de valor inicial, a escolha da particular com ressonância e a variação dos parâmetros para os termos que não cabem nos candidatos.