Primitivação avançada

Frações racionais

Para $P(x)/Q(x)$, começa por dividir se $\deg P\ge\deg Q$. Depois fatora $Q$ em fatores lineares e quadráticos irredutíveis reais. A decomposição deve incluir todos os termos:

• Para $(x-a)^m$, inclui $A_1/(x-a)+\cdots+A_m/(x-a)^m$.
• Para $(x^2+bx+c)^m$ irredutível, inclui um numerador linear $B_jx+C_j$ sobre cada potência $j=1,\ldots,m$.

Os fatores quadráticos irredutíveis têm discriminante negativo. Um numerador apenas constante pode não conseguir representar a fração original.

Para

$$\frac{3x+1}{(x-1)(x+1)}=\frac A{x-1}+\frac B{x+1},$$

multiplica pelo denominador comum: $3x+1=A(x+1)+B(x-1)$. Comparar coeficientes dá $A+B=3$ e $A-B=1$, logo $A=2$, $B=1$. Assim, em cada intervalo separado por $-1$ e $1$,

$$\begin{gathered} \int\frac{3x+1}{x^2-1}\,dx\\ =2\ln|x-1|+\ln|x+1|+C. \end{gathered}$$

Fatores repetidos

Em

$$\begin{gathered} \frac1{x(x-1)^2}\\ =\frac A x+\frac B{x-1}+\frac C{(x-1)^2}, \end{gathered}$$

a identidade é $1=A(x-1)^2+Bx(x-1)+Cx$. Usando $x=0$ e $x=1$, obtemos $A=1$ e $C=1$. O coeficiente de $x^2$ dá $B=-1$. A primitiva é

$$\ln|x|-\ln|x-1|-\frac1{x-1}+C_0,$$

onde o termo da potência dois produz uma função racional, não outro logaritmo.

Quadráticos sem raízes reais

Se o numerador contém a derivada do denominador, separa essa parte: ela integra para um logaritmo. O resto completa um quadrado e dá um arco-tangente.

Para $q=x^2+2x+5=(x+1)^2+4$, temos $3x+1=\frac32(2x+2)-2$. Então

$$\begin{gathered} \int\frac{3x+1}{q}\,dx\\ =\frac32\ln q-2\int\frac{dx}{(x+1)^2+4}\\ =\frac32\ln q-\arctan\frac{x+1}{2}+C. \end{gathered}$$

A última parcela usa $u=(x+1)/2$, e completar o quadrado permite reconhecer o arco-tangente.

Quadrático irredutível repetido

Para $\int(2x^2+3)/(x^2+1)^2\,dx$, escreve o numerador sobre a mesma base. Como $2x^2+3=2(x^2+1)+1$,

$$\int\frac{2x^2+3}{(x^2+1)^2}\,dx=\int\frac{2}{x^2+1}\,dx+\int\frac{dx}{(x^2+1)^2}.$$

A primeira parcela dá $2\arctan x$. Para calcular a segunda, usa $x=\tan t$, com $-\pi/2<t<\pi/2$. Como $dx=\sec^2t\,dt$ e $1+x^2=\sec^2t$,

$$\int\frac{dx}{(1+x^2)^2} =\int\cos^2t\,dt =\frac t2+\frac{\sin(2t)}4+C.$$

No regresso, $t=\arctan x$ e $\sin(2t)=2x/(1+x^2)$. Esta parcela é $\tfrac12(\arctan x+x/(x^2+1))$. Somando,

$$\frac52\arctan x+\frac{x}{2(x^2+1)}+C.$$

Derivar confirma. O integrando em zero vale $3$, e a derivada da primitiva em zero dá $5/2+1/2=3$.

Potências e produtos trigonométricos

Em $\int\sin^m x\cos^n x\,dx$, com expoentes inteiros não negativos, um expoente ímpar permite guardar um fator para a mudança de variável. Se $m$ é ímpar, guarda $\sin x\,dx$ e usa $u=\cos x$. Se $n$ é ímpar, guarda $\cos x\,dx$ e usa $u=\sin x$.

Por exemplo,

$$\begin{gathered} \int\sin^3x\cos^2x\,dx\\ =\int(1-\cos^2x)\cos^2x\sin x\,dx. \end{gathered}$$

Com $u=\cos x$, $du=-\sin x\,dx$, fica

$$\begin{gathered} -\int(u^2-u^4)\,du=-\frac{u^3}3+\frac{u^5}5+C\\ =-\frac{\cos^3x}3+\frac{\cos^5x}5+C. \end{gathered}$$

Se ambos os expoentes são pares, usa $\sin^2x=(1-\cos2x)/2$ e $\cos^2x=(1+\cos2x)/2$. Em particular,

$$\sin^2x\cos^2x=\frac18(1-\cos4x),$$

por isso a primitiva é $x/8-\sin4x/32+C$.

Em potências de tangente e secante, um fator $\sec^2x\,dx$ sugere $u=\tan x$; um fator $\sec x\tan x\,dx$ sugere $u=\sec x$. Por exemplo,

$$\begin{gathered} \int\tan^2x\sec^4x\,dx\\ =\int\tan^2x(1+\tan^2x)\sec^2x\,dx\\ =\frac{\tan^3x}3+\frac{\tan^5x}5+C. \end{gathered}$$

Com cotangente e cossecante, os padrões são análogos, mas $d(\cot x)=-\csc^2x\,dx$ e $d(\csc x)=-\csc x\cot x\,dx$.

Para frequências diferentes, transforma o produto em soma. Como $\sin(mx)\cos(nx)=[\sin((m+n)x)+\sin((m-n)x)]/2$, cada termo fica imediato. Trata $m=n$ antes de dividir por $m-n$.

A primitiva da secante

Multiplica por $(\sec x+\tan x)/(\sec x+\tan x)$. O numerador passa a ser a derivada do denominador:

$$\begin{gathered} \int\sec x\,dx\\ =\int\frac{\sec^2x+\sec x\tan x}{\sec x+\tan x}\,dx\\ =\ln|\sec x+\tan x|+C. \end{gathered}$$

Com partes, para $I=\int\sec^3x\,dx$, toma $u=\sec x$, $dv=\sec^2x\,dx$. Então $du=\sec x\tan x\,dx$ e $v=\tan x$, logo

$$I=\sec x\tan x-\int\sec x\tan^2x\,dx.$$

Usando $\tan^2x=\sec^2x-1$,

$$I=\sec x\tan x-I+\int\sec x\,dx.$$

Portanto $I=\frac12\sec x\tan x+\frac12\ln|\sec x+\tan x|+C$.

Substituição universal

Uma função racional de $\sin x$ e $\cos x$ torna-se racional em $t=\tan(x/2)$:

$$\begin{gathered} \sin x=\frac{2t}{1+t^2}\\ \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\ dx=\frac{2\,dt}{1+t^2}. \end{gathered}$$

Para $\int dx/(2+\cos x)$,

$$\int\frac{2\,dt}{3+t^2} =\frac2{\sqrt3}\arctan\frac t{\sqrt3}+C.$$

Volta a $t=\tan(x/2)$. A expressão final é válida em intervalos que não atravessam os pontos onde $\tan(x/2)$ é indefinida. O integrando original pode continuar definido nesses pontos; para atravessá-los, ajusta os ramos e as constantes. A mudança de variável não deve introduzir um salto numa primitiva.

Expressões irracionais

Uma raiz de uma expressão linear pode servir de variável. Para $\int dx/(1+\sqrt x)$, toma $t=\sqrt x$, $x=t^2$, $dx=2t\,dt$:

$$\begin{gathered} \int\frac{2t}{1+t}\,dt=2\int\bigl(1-\frac1{1+t}\bigr)dt\\ =2\sqrt x-2\ln(1+\sqrt x)+C. \end{gathered}$$

Derivamos em $x>0$; o integrando original também está definido no extremo $x=0$.

Para raízes quadráticas, com $a>0$, as escolhas habituais são $x=a\sin t$ em $\sqrt{a^2-x^2}$, $x=a\tan t$ em $\sqrt{a^2+x^2}$ e $x=a\sec t$ em $\sqrt{x^2-a^2}$. Escolhe um intervalo para controlar o sinal, porque $\sqrt{u^2}=|u|$.

Por exemplo, em $|x|<a$, toma $x=a\sin t$ com $t\in]-\pi/2,\pi/2[$. Então $\cos t>0$, $\sqrt{a^2-x^2}=a\cos t$ e $dx=a\cos t\,dt$. Obtemos

$$\begin{gathered} \int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\int dt\\ =\arcsin(x/a)+C. \end{gathered}$$

A escolha do intervalo justifica retirar o valor absoluto. Sem ela, o passo não seria válido.

Para $\int\sqrt{a^2-x^2}\,dx$ com $|x|<a$, a mesma substituição dá $a^2\int\cos^2t\,dt$. Como $\cos^2t=(1+\cos2t)/2$, obtemos $(a^2/2)(t+\sin t\cos t)+C$. O regresso usa $t=\arcsin(x/a)$ e $\sin t\cos t=(x/a)(\sqrt{a^2-x^2}/a)$. Em $x$,

$$\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+\frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2}+C.$$

Em $[0,a]$, o valor é $\pi a^2/4$, um quarto da área do círculo de raio $a$. Derivar o resultado devolve o integrando.