# Primitivação avançada

Frações racionais por decomposição, potências e produtos trigonométricos, substituição universal e expressões irracionais.

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Esta página trata os integrandos que resistem aos métodos básicos: quocientes de polinómios, potências trigonométricas e raízes. Cada família tem um procedimento sistemático; a competência é reconhecer a família e aplicar o procedimento sem saltar passos.

![Diagrama de escolha do método: frações de polinómios pedem decomposição em frações simples, integrandos trigonométricos pedem guardar fator, linearizar ou substituição universal, e raízes pedem substituição pela raiz ou trigonométrica.](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am1/primitivas-avancadas/figura-1.svg)

## Frações racionais

Para $\int P(x)/Q(x)\,dx$ com polinómios $P$ e $Q$, o primeiro passo é garantir que o grau de $P$ é menor que o de $Q$; se não for, faz a divisão e primitiva o quociente (polinómio) mais o resto sobre $Q$. Depois fatoriza $Q$ em fatores lineares e quadráticos e decompõe em **frações simples**.

Exemplo completo: $\int \frac{dx}{x(x-1)^2}$. Escreve

$$
\frac{1}{x(x-1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2}.
$$

Multiplicando por $x(x-1)^2$: $1 = A(x-1)^2 + Bx(x-1) + Cx$. Substituindo $x = 0$ dá $1 = A$. Substituindo $x = 1$ dá $1 = C$. Comparando coeficientes de $x^2$: $0 = A + B$, logo $B = -1$. Assim

$$
\int \frac{dx}{x(x-1)^2} = \int \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^2}\right)dx = \ln|x| - \ln|x-1| - \frac{1}{x-1} + C.
$$

Deriva para confirmar: $1/x - 1/(x-1) + 1/(x-1)^2$, que recompõe a fração original. Certo. Confirma também numericamente que a decomposição reproduz a fração em dois pontos:

```javascript
function original(x) {
  return 1 / (x * (x - 1) ** 2);
}
function decomposta(x) {
  return 1 / x - 1 / (x - 1) + 1 / (x - 1) ** 2;
}
for (const x of [2, 3]) {
  console.log(x, original(x).toFixed(6), decomposta(x).toFixed(6));
}
```

As linhas imprimem `2 0.500000 0.500000` e `3 0.083333 0.083333`: original e decomposição coincidem.

Os casos que pedem atenção: raízes múltiplas (cada potência $(x-a)^k$ gera $k$ frações) e fatores quadráticos irredutíveis $x^2 + bx + c$, que geram termos $(Mx+N)/(x^2+bx+c)$ e conduzem a logaritmos e arco tangentes.

Um exemplo completo com quadrático irredutível: $\int \frac{dx}{x^2+4x+5}$. Completa o quadrado: $x^2+4x+5 = (x+2)^2 + 1$. Com $u = x + 2$ e $du = dx$:

$$
\int \frac{dx}{(x+2)^2+1} = \int \frac{du}{u^2+1} = \arctan u + C = \arctan(x+2) + C.
$$

Deriva para confirmar: a derivada de $\arctan(x+2)$ é $1/((x+2)^2+1) = 1/(x^2+4x+5)$. Certo. Se o numerador tivesse um termo em $x$, partir-se-ia em duas frações: uma com o numerador proporcional à derivada do denominador (que dá logaritmo) e outra constante (que dá arco tangente).

## Potências e produtos trigonométricos

Para potências ímpares de seno ou cosseno, guarda um fator para o $du$ e converte o resto com $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Exemplo: $\int \sin^3 x \cos^2 x\,dx$. Escreve $\sin^3 x = (1 - \cos^2 x)\sin x$ e substitui $u = \cos x$, $du = -\sin x\,dx$:

$$
\int (1-u^2)u^2(-du) = \int (u^4 - u^2)\,du = \frac{u^5}{5} - \frac{u^3}{3} + C = \frac{\cos^5 x}{5} - \frac{\cos^3 x}{3} + C.
$$

Derivando confirmas: $-\sin x \cos^4 x + \sin x \cos^2 x = \sin x \cos^2 x (1 - \cos^2 x) = \sin^3 x \cos^2 x$.

Para potências pares, usam-se as fórmulas de linearização, $\cos^2 x = (1 + \cos 2x)/2$ e $\sin^2 x = (1 - \cos 2x)/2$, que baixam o grau à custa do ângulo duplo. Produtos como $\sin(mx)\cos(nx)$ convertem-se em somas com as fórmulas de produto em soma.

## Substituição universal

Qualquer função racional de seno e cosseno, $R(\sin x, \cos x)$, reduz-se a uma fração racional com a **substituição universal** $t = \tan(x/2)$:[1](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am1/primitivas-avancadas/#user-content-fn-universal)

$$
\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \qquad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \qquad dx = \frac{2\,dt}{1+t^2}.
$$

É um método garantido, mas produz frações por vezes pesadas; por isso, para potências simples prefere as técnicas da secção anterior e guarda a substituição universal para quocientes trigonométricos sem simetria aproveitável.

Exemplo completo: $\int \frac{dx}{2+\cos x}$. Substituindo,

$$
\int \frac{2\,dt/(1+t^2)}{2 + (1-t^2)/(1+t^2)} = \int \frac{2\,dt}{2(1+t^2) + 1 - t^2} = \int \frac{2\,dt}{t^2+3}.
$$

Isto é um arco tangente disfarçado: $\int \frac{2\,dt}{t^2+3} = \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\frac{t}{\sqrt{3}} + C$. Voltando a $t = \tan(x/2)$:

$$
\int \frac{dx}{2+\cos x} = \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{\tan(x/2)}{\sqrt{3}}\right) + C.
$$

Derivar para confirmar é penoso à mão, mas a estrutura garante: cada substituição foi equivalência onde $\cos(x/2) \ne 0$.

## Expressões irracionais

Quando o integrando envolve raízes de uma função linear, a substituição pela raiz elimina-as. Exemplo: $\int \frac{dx}{1+\sqrt{x}}$. Com $t = \sqrt{x}$, isto é $x = t^2$ e $dx = 2t\,dt$:

$$
\int \frac{2t}{1+t}\,dt = 2\int\left(1 - \frac{1}{1+t}\right)dt = 2t - 2\ln|1+t| + C = 2\sqrt{x} - 2\ln(1+\sqrt{x}) + C.
$$

Derivando obténs $1/\sqrt{x} - 1/((1+\sqrt{x})\sqrt{x}) = 1/(1+\sqrt{x})$. Certo. Para raízes de expressões quadráticas surgem as **substituições trigonométricas**: $\sqrt{a^2-x^2}$ pede $x = a\sin t$, $\sqrt{a^2+x^2}$ pede $x = a\tan t$ e $\sqrt{x^2-a^2}$ pede $x = a\sec t$.

Escolhe o método pela forma

Substituição e partes primeiro; fração de polinómios, decomposição; potências trigonométricas com expoente ímpar, guardar um fator; potências pares, linearizar; quociente trigonométrico genérico, substituição universal; raízes, substituição pela raiz ou trigonométrica. Classificar antes de calcular poupa a maioria das contas falhadas.

## Para onde ir

Com a primitivação dominada, o integral definido volta como ferramenta geométrica: [volumes de revolução e coordenadas polares](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am1/primitivas-avancadas/volumes-polares/).

## Notas de rodapé

1.  As três fórmulas deduzem-se de $\tan(x/2) = t$ com as fórmulas do ângulo duplo: $\sin x = 2t/(1+t^2)$ e $\cos x = (1-t^2)/(1+t^2)$, e $dx = 2\,dt/(1+t^2)$ por derivação de $x = 2\arctan t$. [Voltar](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am1/primitivas-avancadas/#user-content-fnref-universal)