Séries numéricas

Somas parciais

Na soma $1/2+1/4+1/8+\cdots$, os totais depois de uma, duas e três parcelas são $1/2$, $3/4$ e $7/8$. Cada parcela cobre metade da distância que faltava até $1$.

Uma série $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ é estudada através das somas parciais $S_N=a_1+\cdots+a_N$. Converge para $S$ se $S_N\to S$ com $S$ finito; caso contrário, diverge. Neste exemplo, $S_N=1-2^{-N}$, logo a soma é $1$.

O teste do termo geral e as séries geométricas

Se uma série converge, necessariamente $a_n\to0$, porque $a_n=S_n-S_{n-1}$. O contrário é falso. Na série harmónica $\sum1/n$, os termos tendem para zero, mas a soma diverge. Agrupando os termos entre $2^k+1$ e $2^{k+1}$, cada grupo soma pelo menos $1/2$.

Uma série geométrica tem razão constante $r$. Como

$$\begin{gathered} 1+r+\cdots+r^N=\frac{1-r^{N+1}}{1-r}\\ (r\ne1), \end{gathered}$$

temos $\sum_{n=0}^{\infty}r^n=1/(1-r)$ se $|r|<1$. Se $|r|\ge1$, o termo geral nem tende para zero. Para uma série que começa em $m$,

$$\sum_{n=m}^{\infty}cr^n=\frac{cr^m}{1-r}.$$

Por exemplo, $\sum_{n=3}^{\infty}2(1/4)^n=2(1/4)^3/(1-1/4)=1/24$. O índice inicial muda a soma.

Séries telescópicas: somar por cancelamento

O cancelamento só é seguro numa soma finita. Para $a_n=1/[n(n+1)]$, a decomposição é $a_n=1/n-1/(n+1)$. Então

$$\begin{gathered} S_N\\ =\bigl(1-\frac12\bigr)+\bigl(\frac12-\frac13\bigr)+\cdots+ \bigl(\frac1N-\frac1{N+1}\bigr)\\ =1-\frac1{N+1}. \end{gathered}$$

Ao tomar o limite, a soma é $1$. Não separas uma série convergente na diferença de duas séries divergentes.

Outro exemplo é $\sum_{n=1}^{\infty}\ln((n+1)/n)$. A soma parcial é $\ln(N+1)$ e tende para $+\infty$. Ser telescópica não implica convergir.

Critérios de convergência

Os critérios seguintes estudam convergência, mas, salvo séries reconhecíveis, não calculam a soma.

Comparação e séries p

Para termos não negativos, compara com uma série de referência. Se $0\le a_n\le b_n$ a partir de certa ordem e $\sum b_n$ converge, então $\sum a_n$ converge. Se $a_n\ge b_n\ge0$ e $\sum b_n$ diverge, então $\sum a_n$ diverge.

Quando as ordens de grandeza coincidem, usa a comparação por limite. Se $a_n,b_n>0$ e $a_n/b_n\to L$ com $0<L<+\infty$, as séries têm a mesma natureza. Se $L=0$, só a convergência de $\sum b_n$ garante a de $\sum a_n$.

A referência mais usada é $\sum1/n^p$, que converge se e só se $p>1$. A prova geral usa o critério do integral, que fica para depois dos integrais impróprios. O caso $p=2$ verifica-se já por cancelamento: para $n\ge2$, $1/n^2\le1/[n(n-1)]=1/(n-1)-1/n$, cuja soma parcial é $1-1/N\le1$. Para $a_n=(n+2)/(n^3+1)$, comparamos com $b_n=1/n^2$:

$$\frac{a_n}{b_n}=\frac{n^3+2n^2}{n^3+1}\to1.$$

Como a série $p$ com $p=2$ converge, a série dada converge.

Critério do integral

O critério do integral compara uma série com um integral impróprio e exige integrais impróprios, que só aparecem mais à frente. Até lá, usa comparação com séries de referência. O critério, com a prova por retângulos e as cotas do resto, está na página dos integrais impróprios.

Razão e raiz

Para $a_n\ne0$ a partir de certa ordem, calcula $L=\lim|a_{n+1}/a_n|$, se existir. Se $L<1$, a série converge absolutamente. Se $L>1$, ou o limite é $+\infty$, diverge. Se $L=1$, o teste não decide.

Para $a_n=3^n/n!$,

$$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac3{n+1}\to0,$$

logo há convergência absoluta. O fatorial sugere este teste.

O critério da raiz usa $L=\lim\sqrt[n]{|a_n|}$, com as mesmas conclusões. É útil quando todo o termo está elevado a $n$.

Para $a_n=(n/(n+1))^{n^2}$,

$$\sqrt[n]{a_n}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=\left(1+\frac1n\right)^{-n}\to e^{-1}<1,$$

logo a série converge. Calcular apenas o limite de $a_n$, que dá zero, não decidiria a questão.

Séries alternadas e convergência absoluta

Se $b_n\ge0$ é decrescente a partir de certa ordem e $b_n\to0$, a série $\sum(-1)^{n-1}b_n$ converge, pelo critério de Leibniz. Para $\sum(-1)^{n-1}/n$, estas condições verificam-se. A série converge, mas a série dos módulos $\sum1/n$ diverge. A convergência é condicional.

Uma série converge absolutamente se $\sum|a_n|$ converge. Convergência absoluta implica convergência. Se $\sum|a_n|$ diverge, ainda tens de estudar a série original.

Quando Leibniz se aplica desde o primeiro termo, o erro de uma soma parcial satisfaz

$$|S-S_N|\le b_{N+1}.$$

Por exemplo, na série alternada $\sum(-1)^{n-1}/n^2$, $N=10$ garante erro no máximo $1/121<0{,}01$. As somas parciais ficam alternadamente acima e abaixo da soma.

Estratégia de resolução

Começa pelo termo geral: se não tende para zero, termina com divergência; se tende para zero, procura razão constante, cancelamento, comparação com uma série $p$, fatorial ou potência $n$. Com sinais alternados, testa primeiro convergência absoluta e depois Leibniz se for necessário.

Alterar um número finito de termos não muda a convergência, mas pode mudar a soma. Um resultado $L=1$ nos testes da razão ou da raiz exige outro critério. A harmónica e $\sum1/n^2$ dão ambos $L=1$, apesar de terem naturezas diferentes.