# Volumes de revolução e coordenadas polares

Cálculo de volumes por fatias, discos e coroas cilíndricas, e áreas em coordenadas polares.

Página: https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am1/volumes-polares/

O integral definido mede mais do que áreas planas: empilhando secções transversais obtemos volumes, e mudando para coordenadas polares descrevemos regiões circulares com integrais simples. As duas ideias partilham o mesmo esquema, fatiar, aproximar e passar ao limite.

## Volumes por secções transversais

Se um sólido entre $x = a$ e $x = b$ tem área de secção transversal $A(x)$ contínua, o seu volume é

$$
V = \int_a^b A(x)\,dx.
$$

Cada caso de revolução é uma escolha de $A(x)$. Rodando a região sob $y = f(x) \ge 0$ em torno do eixo $Ox$, cada secção é um disco de raio $f(x)$, com área $\pi f(x)^2$:

$$
V = \pi \int_a^b f(x)^2\,dx \quad \text{(discos)}.
$$

Exemplo de verificação: a esfera de raio $r$, obtida rodando o semicírculo $y = \sqrt{r^2-x^2}$ em $[-r, r]$:

$$
V = \pi \int_{-r}^{r} (r^2 - x^2)\,dx = \pi\left[2r^3 - \frac{2r^3}{3}\right] = \frac{4\pi r^3}{3}.
$$

Recuperámos a fórmula conhecida, o que confirma o método. Vê as fatias a somar o volume com $r = 2$, comparando a soma de mil discos com o valor exato $4\pi r^3/3$:

```javascript
const r = 2;
const n = 1000;
const dx = (2 * r) / n;
let v = 0;
for (let k = 0; k < n; k++) {
  const x = -r + (k + 0.5) * dx;
  v += Math.PI * (r * r - x * x) * dx;
}
console.log(v.toFixed(4));
console.log(((4 * Math.PI * r ** 3) / 3).toFixed(4));
```

As duas linhas imprimem `33.5103`: mil discos chegam ao volume exato com quatro casas decimais.

Quando a região está entre duas curvas, $g(x) \le f(x)$, cada secção é uma coroa (**método das arandelas**):

$$
V = \pi \int_a^b \big(f(x)^2 - g(x)^2\big)\,dx.
$$

![Secção transversal de um disco de raio R e de uma arandela com raios interior r e exterior R, ambos medidos a partir do eixo de rotação.](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am1/volumes-polares/figura-1.svg)

Exemplo: roda a região entre $y = x$ e $y = x^2$ em torno do eixo $Ox$. As curvas cruzam-se em $0$ e $1$, e a reta está por cima:

$$
V = \pi \int_0^1 (x^2 - x^4)\,dx = \pi\left[\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right] = \frac{2\pi}{15}.
$$

Se o eixo de rotação é uma reta horizontal $y = k$ exterior à região, cada raio mede-se a partir dela: o raio exterior é $|f(x) - k|$ e o interior $|g(x) - k|$. Desenha sempre a secção e marca os dois raios antes de escrever o integral; trocar raios ou esquecer o quadrado são os erros típicos.

O **método das cascas cilíndricas** é a alternativa para rotações em torno de eixos verticais: com cascas de raio $x$ e altura $f(x)$,

$$
V = 2\pi \int_a^b x f(x)\,dx.
$$

Escolhe discos quando a secção perpendicular ao eixo é simples, e cascas quando a secção paralela o é. Um exemplo que mostra a diferença: roda a região entre $y = x$ e $y = x^2$ (com $0 \le x \le 1$) em torno do eixo $Oy$. Por discos, seria preciso inverter as curvas ($x = y$ e $x = \sqrt{y}$) e integrar em $y$; por cascas, usa-se diretamente $x$ como raio e $x - x^2$ como altura:

$$
V = 2\pi \int_0^1 x(x - x^2)\,dx = 2\pi\left[\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right] = 2\pi \cdot \frac{1}{12} = \frac{\pi}{6}.
$$

Compara com o volume por discos em torno de $Ox$ calculado acima ($2\pi/15$): o método certo depende do eixo, e as cascas poupam aqui a inversão das funções.

## Coordenadas polares

Em **coordenadas polares**, um ponto descreve-se por $(r, \theta)$, com $x = r\cos\theta$ e $y = r\sin\theta$. Curvas com simetria circular tornam-se simples: $r = c$ é uma circunferência, $\theta = c$ é uma semirreta e $r = 1 + \cos\theta$ é uma cardioide.

A área varrida por $r(\theta)$ entre $\theta = \alpha$ e $\theta = \beta$ é[1](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am1/volumes-polares/#user-content-fn-polares)

$$
A = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} r(\theta)^2\,d\theta.
$$

A intuição: cada fatia infinitesimal é quase um setor circular de área $r^2\,d\theta/2$.

Exemplo: área da cardioide $r = 1 + \cos\theta$. Como a curva fecha-se quando $\theta$ vai de $0$ a $2\pi$:

$$
A = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} (1 + \cos\theta)^2\,d\theta = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} \big(1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta\big)\,d\theta.
$$

Ora $\int_0^{2\pi} 1\,d\theta = 2\pi$, $\int_0^{2\pi} \cos\theta\,d\theta = 0$ e $\int_0^{2\pi} \cos^2\theta\,d\theta = \pi$ (valor médio $1/2$ num período de $2\pi$). Logo $A = (2\pi + \pi)/2 = 3\pi/2$.

Intervalo de $\theta$ correto

Em polares, o erro mais caro é integrar no intervalo errado: cada ponto da curva deve ser contado exatamente uma vez. Para a cardioide completa, $[0, 2\pi]$ funciona; para meio plano ou rosáceas, estuda primeiro onde $r$ se anula e que ângulos cobrem a região pedida.

## Para onde ir

Fechamos o bloco de integração com dois tópicos que preparam o resto da cadeira: as [funções hiperbólicas e os integrais impróprios](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am1/volumes-polares/hiperbolicas-improprios/).

## Notas de rodapé

1.  A fórmula da área em polares deduz-se da área do setor circular e vale para $r(\theta)$ contínua no intervalo de integração; ver o capítulo de aplicações do integral em _Análise Matemática 1, Conteúdo teórico e aplicações_ (Carlos A. Conceição António, AEFEUP, 2017). [Voltar](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am1/volumes-polares/#user-content-fnref-polares)