# Séries de Fourier

Funções periódicas, coeficientes de Fourier pelas fórmulas de Euler e convergência da série, com um exemplo completo.

Página: https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am1/fourier/

Enquanto a série de Taylor aproxima uma função perto de um ponto com polinómios, a **série de Fourier** representa uma função periódica em todo o seu domínio como soma de senos e cossenos. Para engenharia, é a linguagem natural de sinais e vibrações: cada termo é uma harmónica com frequência múltipla da fundamental.

## Funções periódicas e a forma da série

Uma função $f$ é **periódica** de período $T > 0$ se $f(x+T) = f(x)$ para todo o $x$. A cadeira trabalha com período $2\pi$: se a série converge, a sua soma herda esse período, porque cada termo $\cos(nx)$ e $\sin(nx)$ tem período $2\pi$.

A série de Fourier de $f$ escreve-se

$$
f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \big(a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)\big),
$$

onde $a_0, a_n, b_n$ são os **coeficientes de Fourier**. Escreve-se $a_0/2$ em vez de $a_0$ por conveniência: assim a fórmula de $a_n$ abaixo também produz $a_0$ para $n = 0$. O til indica que a igualdade depende da convergência, tratada no fim.[1](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am1/fourier/#user-content-fn-dirichlet)

## Coeficientes: as fórmulas de Euler

A chave é a **ortogonalidade** de senos e cossenos em $[-\pi, \pi]$: integrais de produtos de harmónicas distintas anulam-se, e só sobrevivem os quadrados. Multiplicando a série por $\cos(mx)$ ou $\sin(mx)$ e integrando termo a termo, isolamos cada coeficiente. As **fórmulas de Euler** resultantes são:

$$
a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx, \qquad b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx,
$$

para $n \ge 0$ (com $a_0/2$ a usar $a_0$). Há dois atalhos de simetria que deves verificar primeiro: se $f$ é **par**, todos os $b_n$ são zero; se $f$ é **ímpar**, todos os $a_n$ são zero. Metade das contas desaparece.

## Exemplo completo: $f(x) = x$ em $]-\pi, \pi[$

Considera a função periódica de período $2\pi$ que vale $x$ em $]-\pi, \pi[$ (onda em dente de serra). Como $f$ é ímpar, $a_n = 0$ para todo o $n$. Para $b_n$:

$$
b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\sin(nx)\,dx = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x\sin(nx)\,dx,
$$

porque o integrando $x\sin(nx)$ é par. Primitivando por partes ($u = x$, $dv = \sin(nx)\,dx$):

$$
\int x\sin(nx)\,dx = -\frac{x\cos(nx)}{n} + \frac{\sin(nx)}{n^2}.
$$

Avaliando de $0$ a $\pi$: em $\pi$ dá $-\pi\cos(n\pi)/n + 0 = -\pi(-1)^n/n$; em $0$ dá $0$. Logo

$$
b_n = \frac{2}{\pi}\left(-\frac{\pi(-1)^n}{n}\right) = \frac{2(-1)^{n+1}}{n},
$$

e a série é

$$
x \sim \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx) = 2\left(\sin x - \frac{\sin 2x}{2} + \frac{\sin 3x}{3} - \dots\right).
$$

Os primeiros termos já desenham a reta: com $n = 1$, $2\sin x$ acompanha $x$ perto da origem; somar $- \sin 2x$ corrige a curvatura. Quanto mais harmónicas, melhor o ajuste dentro de $]-\pi, \pi[$.

![A reta e as três primeiras somas parciais da série do dente de serra. Cada harmónica nova aproxima a reta no intervalo aberto, mantendo o salto nos extremos.](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am1/fourier/figura-1.svg)

Vê as somas parciais a tender para $x = 1$ somando as primeiras harmónicas nesse ponto:

```javascript
function somaParcial(N) {
  let s = 0;
  for (let n = 1; n <= N; n++) {
    s += ((2 * (-1) ** (n + 1)) * Math.sin(n * 1)) / n;
  }
  return s;
}
console.log(somaParcial(5).toFixed(4));
console.log(somaParcial(20).toFixed(4));
```

O programa imprime `0.8626` e `0.9447`: com $5$ harmónicas estamos a $0{,}14$ do valor $1$, e com $20$ a $0{,}06$.

## Um exemplo par: $f(x) = x^2$ em $]-\pi, \pi[$

Para treinar a outra metade das fórmulas, considera a função par que vale $x^2$ em $]-\pi, \pi[$. Sendo par, $b_n = 0$ para todo o $n$. Para $a_0$:

$$
a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x^2\,dx = \frac{2}{\pi}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^{\pi} = \frac{2\pi^2}{3},
$$

logo o termo constante da série é $a_0/2 = \pi^2/3$: o valor médio de $x^2$ no intervalo. Para $n \ge 1$, primitiva por partes duas vezes e avalia de $0$ a $\pi$ (o integrando $x^2\cos(nx)$ é par, por isso dobra-se o integral em $[0, \pi]$):

$$
a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x^2\cos(nx)\,dx = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{2\pi(-1)^n}{n^2} = \frac{4(-1)^n}{n^2}.
$$

A série é $x^2 \sim \pi^2/3 + \sum_{n=1}^{\infty} 4(-1)^n\cos(nx)/n^2$. Em $x = \pi$, onde a extensão periódica é contínua (vale $\pi^2$ dos dois lados), a série soma $\pi^2$: substituir $x = \pi$ dá $\pi^2/3 + 4\sum (-1)^n(-1)^n/n^2 = \pi^2/3 + 4\pi^2/6 = \pi^2$, usando $\sum 1/n^2 = \pi^2/6$. É assim que a série de Fourier prova somas de séries numéricas.

## Convergência e o teorema da representação

Nem sempre a série iguala a função ponto a ponto. O **teorema da representação** dá condições suficientes: se $f$ é periódica de período $2\pi$, contínua por partes e com derivadas laterais em cada ponto de $[-\pi, \pi]$, então a série de Fourier converge, e a sua soma vale $f(x)$ onde $f$ é contínua.

Nos pontos de salto, a série converge para a **média dos limites laterais**, $(f(x^-) + f(x^+))/2$. No exemplo do dente de serra, em $x = \pi$ a função salta de $\pi$ para $-\pi$, e a série soma $0$, a média. Este comportamento nos saltos (com o fenómeno de Gibbs nas somas parciais) é normal e esperado, não um erro de cálculo.

[Vídeo: But what is a Fourier series? (3Blue1Brown)](https://www.youtube.com/watch?v=r6sGWTCMz2k)

A miniatura vem do YouTube. O vídeo só carrega quando clicas. [Abrir no YouTube](https://www.youtube.com/watch?v=r6sGWTCMz2k)

Plano de ataque num exercício

Primeiro, identifica período e paridade para anular metade dos coeficientes. Depois calcula os restantes com as fórmulas de Euler, usando partes quando aparece $x$ vezes seno ou cosseno. Por fim, escreve a série e discute a convergência: igualdade onde a função é contínua, média dos limites laterais nos saltos.

## Para saber mais

*   [Fourier series, artigo interativo](https://www.3blue1brown.com/lessons/fourier-series/), da equação do calor aos desenhos com círculos.
*   [My Fourier Epicycles](https://www.myfourierepicycles.com/), simulador onde desenhas uma curva e os epiciclos retraçam-na com as harmónicas de Fourier.

## Notas de rodapé

1.  As condições de convergência e o valor da soma nos saltos (média dos limites laterais) seguem o teorema da representação no capítulo de séries de Fourier de _Análise Matemática 1, Conteúdo teórico e aplicações_ (Carlos A. Conceição António, AEFEUP, 2017). [Voltar](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am1/fourier/#user-content-fnref-dirichlet)