Teoremas do valor médio, L'Hôpital e diferencial

Fermat, Rolle e Lagrange

Nos teoremas seguintes, considera $a<b$.

• Fermat: num extremo local interior onde $f$ é derivável, $f'=0$. Um zero da derivada pode não ser extremo, como em $x^3$.
• Rolle: continuidade em $[a,b]$, derivabilidade em $]a,b[$ e $f(a)=f(b)$ garantem um $c\in]a,b[$ com $f'(c)=0$.
• Lagrange: com as mesmas hipóteses de regularidade, existe $c\in]a,b[$ tal que

$$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Num intervalo, $f'=0$ implica função constante; $|f'|\le M$ implica $|f(b)-f(a)|\le M|b-a|$. Não estendas estas conclusões através de lacunas do domínio.

Cauchy e L’Hôpital

Para $a<b$, se $f,g$ são contínuas em $[a,b]$ e deriváveis no interior, existe $c$ interior com

$$[f(b)-f(a)]g'(c)=[g(b)-g(a)]f'(c).$$

Para usar L’Hôpital, verifica:

1. Uma indeterminação $0/0$ ou $\infty/\infty$.
2. $f,g$ deriváveis e $g'\ne0$ na vizinhança perfurada considerada.
3. Existência do limite de $f'/g'$, finito ou infinito.

Então $\lim f/g=\lim f'/g'$, também em versões laterais ou no infinito. Deriva numerador e denominador separadamente, não o quociente.

$$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2} =\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{2x} =\frac12.$$

Em cada repetição, confere novamente as hipóteses. Produtos e diferenças indeterminados precisam de transformação prévia; em potências indeterminadas de base positiva, toma logaritmos. Assim, $\ln(x^x)=x\ln x\to0$ em $0^+$ e $x^x\to1$.

Se a razão $f'/g'$ não tem limite, a regra não decide: $x/(2x+\sin x)\to1/2$ em $+\infty$, mas $1/(2+\cos x)$ oscila entre $1/3$ e $1$. Exemplo completo.

Diferencial e taxas relacionadas

• $f(a+h)=f(a)+f'(a)h+o(h)$, onde o erro dividido por $h$ tende para zero.
• O diferencial $dy=f'(a)dx$ aproxima a variação, mas não é geralmente igual a ela. Por exemplo, $\sqrt{4{,}04}\approx2+(0{,}04)/4=2{,}01$.
• Para taxas relacionadas, escreve a relação entre grandezas, deriva em ordem ao tempo e só depois substitui os valores do instante.

Se $V=\pi h^3/12$, então $dV/dt=(\pi h^2/4)dh/dt$. Com $h=2$ m e entrada de $2$ m$^3$/min, $dh/dt=2/\pi$ m/min.

Exemplo completo do cone.