Séries numéricas

Convergência e somas

A série $\sum a_n$ converge se as somas parciais $S_N=\sum_{n=1}^Na_n$ tendem para um número finito. É necessário $a_n\to0$, mas não suficiente: $\sum1/n$ diverge.

• Geométrica: para $|r|<1$, $\sum_{n=m}^{\infty}cr^n=cr^m/(1-r)$. Por exemplo, $\sum_{n=3}^{\infty}2(1/4)^n=1/24$.
• Telescópica: cancela numa soma finita e só depois toma o limite. $\sum_{n=1}^N[1/n-1/(n+1)]=1-1/(N+1)\to1$.
• Alterar um número finito de termos preserva a convergência, mas pode alterar a soma.

Escolha de critérios

Critério	Hipóteses e conclusão
Série $p$	$\sum1/n^p$ converge exatamente para $p>1$
Comparação	$0\le a_n\le b_n$ eventualmente e $\sum b_n$ convergente implicam $\sum a_n$ convergente. Uma minorante divergente força divergência
Comparação por limite	$a_n,b_n>0$ e $a_n/b_n\to L\in]0,+\infty[$ implicam a mesma natureza
Razão ou raiz	$L=\lim\|a_{n+1}/a_n\|$ ou $\lim\sqrt[n]{\|a_n\|}$: $L<1$ converge absolutamente, $L>1$ diverge, $L=1$ não decide. A razão exige $a_n\ne0$ eventualmente

Fatoriais sugerem razão; potências de expoente $n$ sugerem raiz. Estes critérios não calculam geralmente a soma.

Para $a_n=3^n/n!$, $|a_{n+1}/a_n|=3/(n+1)\to0$, logo há convergência absoluta. A harmónica e $\sum1/n^2$ dão ambas razão com limite um, apesar de terem naturezas diferentes.

Sinais alternados e erro

• Leibniz: se $b_n\ge0$, eventualmente decrescente e $b_n\to0$, então $\sum(-1)^{n-1}b_n$ converge.
• Absoluta: $\sum|a_n|$ converge, o que garante convergência de $\sum a_n$.
• Condicional: a série converge, mas a dos módulos diverge. A harmónica alternada é um exemplo.
• Se o decréscimo de Leibniz vale desde o início, o erro depois de $N$ termos satisfaz $|S-S_N|\le b_{N+1}$.

Para $\sum(-1)^{n-1}/n^2$, dez termos garantem erro no máximo $1/121<0{,}01$.

Começa pelo termo geral, procura uma estrutura reconhecível e testa convergência absoluta antes de usar alternância. O critério do integral exige uma função positiva, contínua e eventualmente decrescente.