Volumes de revolução e coordenadas polares

Volumes de revolução

Para secções de área $A(x)$, $V=\int_a^bA(x)dx$. Escolhe a orientação das fatias antes da fórmula.

Método	Orientação da faixa	Volume
Discos ou arandelas	Perpendicular ao eixo	$\pi\int(R^2-r^2)dx$, com $R\ge r\ge0$
Cascas	Paralela ao eixo	$2\pi\int\rho H\,dx$, sem sobreposição

Os raios são distâncias ao eixo, não alturas medidas a partir de zero. Em torno de $y=5$, a região entre $y=x^2$ e $y=4$ dá $R=5-x^2$ e $r=1$, com $-2\le x\le2$:

$$V=\pi\int_{-2}^2[(5-x^2)^2-1]\,dx=\frac{832\pi}{15}.$$

Se a faixa $g(x)\le y\le f(x)$ contém o eixo $y=k$, dá um disco cheio, com $r=0$ e

$$R=\max\{|f-k|,|g-k|\}.$$

Divide onde muda a extremidade mais distante. Não subtraias um furo inexistente nem somes volumes sobrepostos.

Nas cascas, $\rho=|x-p|$ para eixo $x=p$. Escolhe faixas que não contem o mesmo raio duas vezes.

Coordenadas e áreas polares

$$x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.$$

Um raio negativo aponta no sentido oposto: $(-r,\theta)$ representa $(r,\theta+\pi)$. A representação não é única.

Se a fronteira é percorrida uma só vez entre $\alpha$ e $\beta$,

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta r^2d\theta.$$

• Para $r=2\cos\theta$, usa $[-\pi/2,\pi/2]$: área $\pi$. De $0$ a $2\pi$, contarias a circunferência duas vezes.
• Entre curvas nos mesmos ângulos, com $0\le r_{\mathrm{int}}\le r_{\mathrm{ext}}$, integra $(r_{\mathrm{ext}}^2-r_{\mathrm{int}}^2)/2$.
• Resolve interseções e confirma a curva exterior em cada intervalo. A origem pode corresponder a ângulos diferentes.

Interseção de regiões

Na interseção dos discos $0\le r\le2\cos\theta$ e $0\le r\le1$, usa o menor raio. As fronteiras mudam em $\theta=\pm\pi/3$.

Por simetria,

$$A=\int_0^{\pi/3}1\,d\theta+ \int_{\pi/3}^{\pi/2}4\cos^2\theta\,d\theta =\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Escolha entre cascas e arandelas.