Integral definido e teoremas fundamentais

Integral de Riemann

Para uma partição $a=x_0<\cdots<x_n=b$, escolhe $\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$. Uma função limitada é integrável à Riemann se

$$\sum_{i=1}^n f(\xi_i)(x_i-x_{i-1})\longrightarrow\int_a^bf(x)dx$$

quando a maior largura tende para zero, independentemente dos pontos escolhidos. Continuidade, ou continuidade por partes com um número finito de descontinuidades, é suficiente.

Para $x^2$ em $[0,1]$, os extremos direitos dão $S_n=n(n+1)(2n+1)/(6n^3)\to1/3$. Como a função cresce, a soma esquerda subestima e a direita sobrestima.

Sinal, área e média

• O integral é linear e aditivo em intervalos; inverter limites troca o sinal.
• Se $f\le g$ e $a<b$, então $\int_a^bf\le\int_a^bg$.
• $\int f$ acumula com sinal. Área geométrica é $\int|f|$; distância percorrida é $\int|v|$.
• Entre curvas, integra superior menos inferior. Se a ordem muda, divide nas interseções ou usa $\int|f-g|$.

Para $x$ e $x^2$ em $[-1,2]$, divide nas interseções $0$ e $1$ e integra superior menos inferior em cada troço: $5/6+1/6+5/6=11/6$.

Se $f$ é contínua em $[a,b]$, $a<b$, existe $c\in[a,b]$ com

$$f(c)=\frac1{b-a}\int_a^bf(x)dx.$$

Na média ponderada, $g$ integrável tem de manter o sinal para garantir $\int fg=f(c)\int g$. Só divide por $\int g$ se for não nulo.

Simetria

A reflexão conserva o integral de uma função contínua em $[0,a]$, $a>0$:

$$\int_0^a f(x)\,dx=\int_0^a f(a-x)\,dx.$$

Se $f(x)+f(a-x)=K$, o integral é $Ka/2$. Em $[-b,b]$, $b>0$, uma função ímpar integrável dá integral zero; uma par dá o dobro do integral em $[0,b]$. Área geométrica continua a exigir o módulo.

Teoremas fundamentais

• Se $f$ é contínua e $F(x)=\int_a^xf(t)dt$, então $F'=f$.
• Se $G'=f$ e $f$ é contínua em $[a,b]$, então $\int_a^bf=G(b)-G(a)$.
• Com $u,v$ deriváveis e $f$ contínua:

$$\frac d{dx}\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt =f(v(x))v'(x)-f(u(x))u'(x).$$

Por exemplo, $H(x)=\int_x^{x^2}e^{t^2}dt$ dá $H'=2xe^{x^4}-e^{x^2}$, sem procurar uma primitiva elementar. Esta fórmula exige que o integrando não dependa também de $x$.

Construção por somas inferiores e superiores.

Uma identidade $\int_c^x f=G(x)$ exige $f=G'$ e $G(c)=0$. Derivar perde a constante, por isso confirma a igualdade no limite inferior. Reconstrução e compatibilidade.