EDOs lineares de segunda ordem

Equação característica

Para $ay''+by'+cy=0$, com coeficientes constantes e $a\ne0$, resolve $ar^2+br+c=0$.

Raízes	Solução homogénea
Reais distintas $r_1,r_2$	$C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$
Real dupla $r$	$(C_1+C_2x)e^{rx}$
$\alpha\pm i\beta$, $\beta>0$	$e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$

As duas condições iniciais determinam $C_1,C_2$. Em $y''-4y'+4y=0$, $y(0)=0$, $y'(0)=1$, a raiz dupla é $2$, logo $y=xe^{2x}$.

Redução de ordem

Conhecendo uma solução homogénea $y_1$ que não se anula no intervalo, escreve $y=y_1u$. Substitui e toma $v=u'$ para reduzir a uma primeira ordem.

Para $x^2y''+2xy'-2y=0$, $y_1=x$ dá $xv'+4v=0$ e depois

$$y=C_1x+C_2/x^2,$$

num intervalo que não atravessa zero.

Particular e ressonância

Numa não homogénea, $y=y_h+y_p$.

• Com coeficientes constantes e termo polinomial, exponencial ou trigonométrico, tenta uma particular da família completa e determina coeficientes por substituição.
• Se o candidato coincide com soluções homogéneas, multiplica-o por $x^m$, onde $m$ é a multiplicidade da raiz associada ($m=1$ para raiz simples, $m=2$ para raiz dupla).

Hipótese	Candidato
Sem coincidência	Família completa, sem fator extra
Ressonância simples	$x$ vezes a família

Em $y''+y=\sin x$, seno e cosseno já pertencem à homogénea. Usa $y_p=x(A\cos x+B\sin x)$; substituir dá $A=-1/2$, $B=0$, logo $y_p=-x\cos x/2$. O caso de raiz dupla, com fator $x^2$, está na lição.

Num polinómio, inclui todos os coeficientes até ao termo constante. Numa soma de termos independentes, soma as particulares e acrescenta a homogénea uma única vez.

Variação dos parâmetros

Normaliza primeiro: $ay''+by'+cy=f$ passa a $y''+py'+qy=g$, com $g=f/a$.

Para uma base homogénea $y_1,y_2$ com Wronskiano $W=y_1y_2'-y_1'y_2\ne0$,

$$y_p=u_1y_1+u_2y_2,\qquad u_1'=-\frac{y_2g}{W},\qquad u_2'=\frac{y_1g}{W}.$$

Integra e soma $y_h$; as constantes dessas integrações podem ser absorvidas em $y_h$.

Para $y''+y=\sec x$ em $]-\pi/2,\pi/2[$, usa $y_1=\cos x$, $y_2=\sin x$, $W=1$. Resulta

$$y_p=\cos x\ln(\cos x)+x\sin x.$$

O intervalo garante $\cos x>0$. Dedução e verificação.