Séries de Fourier

Coeficientes e período

Para uma função de período $2L$, $L>0$,

$$f(x)\sim\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty} \left[a_n\cos\frac{n\pi x}L+b_n\sin\frac{n\pi x}L\right],$$ $$a_n=\frac1L\int_{-L}^Lf(x)\cos\frac{n\pi x}Ldx,\qquad b_n=\frac1L\int_{-L}^Lf(x)\sin\frac{n\pi x}Ldx.$$

A fórmula de $a_0$ usa cosseno igual a um, e $a_0/2$ é a média num período; pode usar-se qualquer intervalo completo de comprimento $2L$.

• $f$ par implica $b_n=0$; os integrais dos cossenos reduzem ao dobro em $[0,L]$.
• $f$ ímpar implica $a_0=a_n=0$; reduz os integrais dos senos ao dobro em $[0,L]$.
• Se não há paridade, calcula ambas as famílias e separa os ramos da função.

Convergência e saltos

Se $f$ é periódica, continuamente diferenciável por partes num período e tem limites laterais finitos, a série converge para

$$\frac{f(x^-)+f(x^+)}2.$$

Onde há continuidade, a soma é $f(x)$. Num salto, é a média dos limites, independentemente do valor escolhido no ponto. O símbolo $\sim$ não afirma igualdade em todos os pontos.

As somas parciais têm ultrapassagem perto dos saltos, o fenómeno de Gibbs. Com mais termos, a região estreita, mas a ultrapassagem relativa não desaparece. Não há convergência uniforme num intervalo que contenha o salto.

Dente de serra

Para a extensão periódica de $f(x)=x$ em $]-\pi,\pi[$, a paridade e uma integração por partes dão

$$a_n=0,\qquad b_n=\frac{2(-1)^{n+1}}n.$$

A série soma $x$ no interior e zero em $x=\pm\pi$, pela média dos limites periódicos.

Quadrado par e a soma $\sum1/n^2=\pi^2/6$.

Meio intervalo

Uma função em $]0,L[$ exige escolher uma extensão de período $2L$:

Extensão	Coeficientes
Par, só cossenos	$a_n=(2/L)\int_0^Lf(x)\cos(n\pi x/L)dx$
Ímpar, só senos	$b_n=(2/L)\int_0^Lf(x)\sin(n\pi x/L)dx$

Ambas representam $f$ nos pontos interiores contínuos, mas podem diferir nos extremos. Para $f(x)=x$ em $]0,2[$, a série ímpar soma zero em dois; a par soma dois. Extensões e função sem paridade.