Integral definido e teoremas fundamentais

Somas de Riemann e o integral definido

Se a velocidade varia durante uma viagem, dividimos o tempo em intervalos e somamos as pequenas deslocações, aproximando a velocidade em cada um. O integral é o limite destas somas, e para acompanhar a construção integramos $f(x)=x^2$ entre zero e um.

Uma partição $P$ de $[a,b]$ é uma lista $a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$. Em cada intervalo escolhemos $\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$ e escrevemos $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$. A soma de Riemann é

$$S(f,P)=\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i.$$

A norma da partição é $\|P\|=\max_i\Delta x_i$. Uma função limitada é integrável à Riemann se estas somas tendem para o mesmo número quando $\|P\|\to0$, independentemente dos pontos escolhidos. Esse número é $\int_a^b f(x)\,dx$.

Ser contínua em $[a,b]$ é uma condição suficiente. Funções limitadas contínuas por partes, com um número finito de descontinuidades, também são integráveis. Uma função ilimitada num extremo exige um integral impróprio.

Para $f(x)=x^2$ em $[0,1]$, com $n$ intervalos iguais e extremos direitos, $\Delta x=1/n$ e $\xi_i=i/n$. Temos

$$\begin{gathered} S_n=\sum_{i=1}^n\bigl(\frac in\bigr)^2\frac1n\\ =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}\longrightarrow\frac13. \end{gathered}$$

A soma dos quadrados é $\sum_{i=1}^ni^2=n(n+1)(2n+1)/6$. Este cálculo obtém o integral a partir da definição, antes de usar primitivas. Na figura, compara cada soma com a área: a curva é crescente, por isso a soma esquerda fica abaixo e a direita acima, enquanto os pontos médios não dão necessariamente uma cota.

Outra caracterização usa as somas inferiores e superiores. Em cada intervalo, toma o ínfimo $m_i$ e o supremo $M_i$ de $f$. Somar $m_i\Delta x_i$ dá a soma inferior; somar $M_i\Delta x_i$ dá a superior.

A função limitada é integrável se podemos tornar a diferença entre estas somas tão pequena quanto quisermos. A função que vale $1$ nos racionais e $0$ nos irracionais não é integrável à Riemann: cada intervalo tem ínfimo zero e supremo um.

Propriedades e sinal

Para funções integráveis e constantes $\alpha,\beta$,

$$\begin{gathered} \int_a^b(\alpha f+\beta g)=\alpha\int_a^bf+\beta\int_a^bg\\ \int_a^bf=\int_a^cf+\int_c^bf. \end{gathered}$$

Por convenção, $\int_b^af=-\int_a^bf$ e $\int_a^af=0$. Se $a<b$ e $f\le g$, então $\int_a^bf\le\int_a^bg$. Em particular, se $m\le f\le M$, então $m(b-a)\le\int_a^bf\le M(b-a)$.

Áreas entre curvas

Se $f\ge g$ em $[a,b]$, a área entre os gráficos é

$$A=\int_a^b[f(x)-g(x)]\,dx.$$

Se a ordem das curvas muda, divide nos pontos de interseção ou usa $\int_a^b|f-g|$. No intervalo $[-1,2]$, as funções $y=x$ e $y=x^2$ intersectam-se em $0$ e $1$. A parábola fica acima fora de $[0,1]$ e abaixo dentro:

Intervalo	Curva superior	Altura da faixa
$[-1,0]$	$y=x^2$	$x^2-x$
$[0,1]$	$y=x$	$x-x^2$
$[1,2]$	$y=x^2$	$x^2-x$

Nos pontos de interseção, a altura é zero. Em cada intervalo, a altura é não negativa. Portanto

$$\begin{gathered} A=\int_{-1}^0(x^2-x)\,dx\\ +\int_0^1(x-x^2)\,dx\\ +\int_1^2(x^2-x)\,dx. \end{gathered}$$

Com as primitivas $x^3/3-x^2/2$ e $x^2/2-x^3/3$, avalia cada parcela nos seus limites. Na primeira, $[x^3/3-x^2/2]_{-1}^0=0-(-1/3-1/2)=5/6$. As parcelas são $5/6$, $1/6$ e $5/6$, e a área é $11/6$. Um único integral de $x-x^2$ cancelaria áreas de sinais opostos.

Também podes integrar em $y$. Cada faixa horizontal usa “direita menos esquerda”, com limites na coordenada $y$.

Simetria e mudança de variável

Se $f$ é contínua em $[0,a]$, com $a>0$, a substituição $t=a-x$ dá $dx=-dt$ e troca os limites:

$$\int_0^a f(x)\,dx=\int_a^0 f(a-t)(-dt)=\int_0^a f(a-t)\,dt.$$

A reflexão em torno do meio do intervalo conserva o integral. Isto resolve integrais cuja primitiva não conhecemos, desde que a função e a sua refletida somem uma constante. Quando $f(x)+f(a-x)=K$ para todo o $x\in[0,a]$, somar as duas expressões do integral dá $2\int_0^a f=Ka$.

Em $[0,1]$, por exemplo, $f(x)=x^3/[x^3+(1-x)^3]$ é contínua, pois o denominador é positivo. A reflexão troca as duas parcelas do denominador e dá $f(x)+f(1-x)=1$. Portanto o integral é $1/2$.

O mesmo procedimento explica os integrais em intervalos simétricos. Para uma função integrável em $[-b,b]$, com $b>0$, a mudança $t=-x$ na metade negativa dá

$$\int_{-b}^b f(x)\,dx=\int_0^b[f(t)+f(-t)]\,dt.$$

Se $f$ é ímpar, o integral anula-se por cancelamento de sinais. Se é par, é o dobro do integral em $[0,b]$. A área geométrica continua a exigir o módulo.

Teoremas do valor médio para integrais

Se $f$ é contínua em $[a,b]$, $a<b$, existe $c\in[a,b]$ tal que

$$\int_a^bf(x)\,dx=f(c)(b-a).$$

O valor médio é $\bar f=(b-a)^{-1}\int_a^bf$. Está entre o mínimo e o máximo, e a continuidade garante que $f$ o atinge. Para $x^2$ em $[0,1]$, o valor médio é $1/3$ e podemos escolher $c=1/\sqrt3$.

Na versão ponderada, se $g$ é integrável e não muda de sinal, existe $c$ com $\int_a^bfg=f(c)\int_a^bg$. Se $\int g\ne0$, o quociente $\int fg/\int g$ é a média ponderada. Sem a condição de sinal, esta conclusão pode falhar.

Teoremas fundamentais do cálculo

Se $f$ é contínua e $F(x)=\int_a^xf(t)\,dt$, então $F'(x)=f(x)$. O incremento de $F$ é a área numa faixa pequena. Dividindo pela largura, a média de $f$ nessa faixa tende para $f(x)$.

Se $G'=f$ e $f$ é contínua em $[a,b]$, o segundo teorema dá

$$\int_a^bf(x)\,dx=G(b)-G(a).$$

É a fórmula de Newton-Leibniz. Para $\int_0^1x^2\,dx$, a primitiva $x^3/3$ dá $1/3$, de acordo com a soma de Riemann.

Com limites variáveis, aplica a cadeia. Se $f$ é contínua e $u,v$ são deriváveis,

$$\begin{gathered} \frac d{dx}\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)\,dt\\ =f(v(x))v'(x)-f(u(x))u'(x). \end{gathered}$$

Para $H(x)=\int_x^{x^2}e^{t^2}\,dt$, não precisamos de uma primitiva elementar:

$$H'(x)=2xe^{x^4}-e^{x^2}.$$

A variável $t$ é muda, serve apenas para integrar. Esta fórmula pressupõe que o integrando não depende também de $x$. Uma expressão como $\int_0^x\sin(xt)\,dt$ exige tratar essa dependência adicional.

Recuperar uma função de uma identidade integral

Se uma função contínua satisfaz $\int_c^x f(t)\,dt=G(x)$ num intervalo que contém $c$, o teorema fundamental dá $f=G'$. Mas a identidade original exige também $G(c)=0$, porque o integral com limites iguais é zero.

Por exemplo, em $\int_0^x f(t)\,dt=x\sin x+k$, substituir $x=0$ dá $k=0$. Derivar dá

$$f(x)=\sin x+x\cos x.$$

Esta função é contínua e tem primitiva $x\sin x$, por isso $\int_0^x f(t)\,dt=x\sin x$. Confirmámos a identidade, não apenas a sua derivada. Se $k\ne0$, a mesma derivação produziria a mesma candidata, mas nenhuma função poderia satisfazer a igualdade inicial.