EDOs lineares de segunda ordem

Característica e problemas de valor inicial

Na equação $ay''+by'+cy=0$, com coeficientes constantes e $a\ne0$, experimentamos $y=e^{rx}$. As derivadas são $re^{rx}$ e $r^2e^{rx}$. Substituir dá

$$(ar^2+br+c)e^{rx}=0.$$

Como a exponencial nunca é zero, precisamos de $ar^2+br+c=0$. Esta é a equação característica. As suas raízes determinam duas soluções independentes; as duas condições iniciais fixam os seus coeficientes.

Com raízes reais distintas $r_1$ e $r_2$, a base é $e^{r_1x}$ e $e^{r_2x}$. Para $y''+11y'+24y=0$ com $y(0)=1$ e $y'(0)=0$, as raízes são $-8$ e $-3$. Escreve $y=C_1e^{-8x}+C_2e^{-3x}$. As condições dão $C_1+C_2=1$ e $-8C_1-3C_2=0$. Resolve: $C_1=-3/5$ e $C_2=8/5$. A solução é

$$y(x)=-\frac35e^{-8x}+\frac85e^{-3x}.$$

Confere: $y(0)=1$ e $y'(0)=(24-24)/5=0$. Substituir na equação anula cada exponencial pela sua raiz.

Com raiz dupla $r$, a base é $e^{rx}$ e $xe^{rx}$. O fator $x$ é necessário para ter duas soluções independentes. Para $y''-4y'+4y=0$ com $y(0)=0$ e $y'(0)=1$, a raiz é $2$. Escreve $y=(C_1+C_2x)e^{2x}$. Então $y(0)=C_1=0$ e $y'=C_2e^{2x}+2(C_1+C_2x)e^{2x}$, por isso $y'(0)=C_2+2C_1=1$ dá $C_2=1$. A solução é

$$y(x)=xe^{2x},$$

que podes conferir por substituição direta na equação e nas duas condições.

Com raízes complexas $\alpha\pm i\beta$, a base real é $e^{\alpha x}\cos\beta x$ e $e^{\alpha x}\sin\beta x$. Para $y''-4y'+9y=0$ com $y(0)=1$ e $y'(0)=0$, as raízes são $2\pm i\sqrt5$. Escreve $y=e^{2x}(C_1\cos\sqrt5x+C_2\sin\sqrt5x)$. Então $y(0)=C_1=1$ e $y'(0)=2C_1+C_2\sqrt5=0$, logo $C_2=-2/\sqrt5$. A solução é

$$y(x)=e^{2x}\left(\cos\sqrt5x-\frac{2}{\sqrt5}\sin\sqrt5x\right).$$

Confere: em zero dá $1$ e derivada zero; a substituição anula a equação porque cada termo da base satisfaz a homogénea.

Redução de ordem

Se $y_1$ resolve a homogénea e nunca se anula no intervalo, escreve $y=y_1u$. Derivar o produto e substituir baixa a ordem: os termos em $u$ cancelam-se porque $y_1$ é solução, e a equação restante envolve apenas $u'$ e $u''$. Com $v=u'$, fica uma linear de primeira ordem.

Para $x^2y''+2xy'-2y=0$, conhecemos $y_1=x$. Trabalhamos num intervalo que não atravessa zero. Com $y=xu$, as derivadas são $y'=u+xu'$ e $y''=2u'+xu''$. Substituindo,

$$x^2(2u'+xu'')+2x(u+xu')-2xu =x^3u''+4x^2u'=0.$$

Dividir por $x^2$ e tomar $v=u'$ dá $xv'+4v=0$. As soluções são $v=C/x^4$, incluindo $v=0$. Integrar dá $u=K-C/(3x^3)$. Absorvendo o fator $-1/3$ na segunda constante, a solução geral é

$$y(x)=C_1x+\frac{C_2}{x^2}.$$

Confere: $1/x^2$ satisfaz a equação para $x\ne0$ por substituição direta.

Coeficientes indeterminados e ressonância

Se $f$ é polinómio, exponencial, seno ou cosseno, tenta uma particular da mesma família, com a família completa. Para $y''-3y'+2y=e^{3x}$, a homogénea dá $C_1e^x+C_2e^{2x}$. Experimenta $y_p=Ae^{3x}$. Substituir dá $(9-9+2)Ae^{3x}=e^{3x}$, logo $A=1/2$.

Se o candidato pertence à homogénea, multiplica-o por $x$ até sair dela. Para $y''+y=\sin x$, usa $y_p=x(A\cos x+B\sin x)$. Derivar duas vezes e substituir dá $-2A\sin x+2B\cos x=\sin x$, logo $A=-1/2$ e $B=0$. A particular é

$$y_p(x)=-\frac{x\cos x}{2}.$$

Confere: $y_p''+y_p$ simplifica para $\sin x$. Esta coincidência chama-se ressonância.

Termo polinomial e sobreposição de particulares

Para um termo independente polinomial, começa com um polinómio completo do mesmo grau. Em $y''-3y'+2y=x$, o candidato é $y_p=Ax+B$. Substituindo,

$$2Ax+2B-3A=x.$$

Os coeficientes dão $2A=1$ e $2B-3A=0$. Logo $A=1/2$, $B=3/4$ e $y_p=x/2+3/4$. Usar apenas $Ax$ deixaria a constante $-3A$, impossível de anular com a escolha $A=1/2$.

Como a equação é linear, somamos particulares de parcelas diferentes e acrescentamos a homogénea uma única vez. Para $y''-3y'+2y=e^{3x}+x$,

$$y_p=\frac12e^{3x}+\frac x2+\frac34.$$

Cada parcela produz o seu próprio termo ao substituir, sem constantes novas para cada particular.

Ressonância com raiz dupla

O fator que remove a coincidência com a homogénea depende da multiplicidade. Para $y''-2y'+y=e^x$, a característica é $(r-1)^2=0$. Tanto $e^x$ como $xe^x$ pertencem à homogénea, por isso multiplicar apenas uma vez por $x$ ainda não chega. Tentamos $y_p=Ax^2e^x$.

A substituição $y=e^xv$ torna a conta mais curta:

$$y''-2y'+y=e^xv''.$$

Com $v=Ax^2$, temos $v''=2A$, logo $A=1/2$. A particular é $x^2e^x/2$. Em geral, para uma exponencial associada a uma raiz de multiplicidade $m$, multiplica o candidato por $x^m$. Verifica a multiplicidade na característica antes de escolher a potência.

Variação dos parâmetros

Para a equação normalizada $y''+py'+qy=g$, com base $y_1$ e $y_2$ e Wronskiano $W=y_1y_2'-y_1'y_2$, procura $y_p=u_1y_1+u_2y_2$ e impõe

$$\begin{gathered} u_1'y_1+u_2'y_2=0\\ u_1'y_1'+u_2'y_2'=g. \end{gathered}$$

O sistema dá $u_1'=-y_2g/W$ e $u_2'=y_1g/W$. Se a equação começa com $ay''+by'+cy=f$, divide primeiro por $a$ e usa $g=f/a$. Sem esta normalização, as fórmulas dão outro resultado.

Para $y''+y=\sec x$ em $]-\pi/2,\pi/2[$, usa $y_1=\cos x$, $y_2=\sin x$ e $W=1$. Então $u_1'=-\tan x$ e $u_2'=1$. Integrar dá $u_1=\ln|\cos x|$ e $u_2=x$. No intervalo escolhido $\cos x>0$, por isso $u_1=\ln(\cos x)$. A particular é

$$y_p(x)=\cos x\ln(\cos x)+x\sin x.$$

Confere: a derivada de $y_p$ é $-\sin x\ln(\cos x)+x\cos x$; derivar outra vez e somar $y_p$ dá $\sin^2x/\cos x+\cos x=\sec x$. A solução geral é $C_1\cos x+C_2\sin x+y_p$. Fora deste intervalo, conserva o módulo no logaritmo.