Probabilidades e Bayes

Acontecimentos e contagem

• O espaço amostral $\Omega$ contém os resultados; um acontecimento é um subconjunto. $A\cup B$ significa pelo menos um; $A\cap B$, ambos; $A^c$, nenhum A.

$$P(A^c)=1-P(A),\qquad P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$$

• Num espaço finito equiprovável, $P(A)=|A|/|\Omega|$. «Ao acaso» não basta para garantir equiprobabilidade.

Escolher $k$ de $n$	Número de resultados
Sem ordem nem reposição	$\binom nk=n!/[k!(n-k)!]$
Com ordem, sem reposição	$n!/(n-k)!$
Com ordem e reposição	$n^k$

• De seis peças aprovadas e quatro rejeitadas, escolher três sem reposição dá probabilidade $\binom62\binom41/\binom{10}3=0,5$ de exatamente duas aprovadas. Com reposição independente, dá $3(0,6)^2(0,4)=0,432$.

Condicionamento e independência

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\quad P(B)>0;\qquad P(A\cap B)=P(B)P(A\mid B).$$

• A condicionada restringe o universo a B. Em geral, $P(A\mid B)\ne P(B\mid A)$.
• Independência significa $P(A\cap B)=P(A)P(B)$. Acontecimentos incompatíveis de probabilidades positivas não são independentes.
• Independência aos pares não garante independência conjunta de vários acontecimentos.

Probabilidade total e Bayes

Para uma partição $B_i$ disjunta, exaustiva e com $P(B_i)>0$:

$$P(A)=\sum_iP(B_i)P(A\mid B_i),$$ $$P(B_j\mid A)=\frac{P(B_j)P(A\mid B_j)}{\sum_iP(B_i)P(A\mid B_i)},\quad P(A)>0.$$

• Com 2% de defeitos, deteção de 95% entre defeituosas e falso alarme de 4% entre boas:

$$P(\text{defeito}\mid\text{alarme})=\frac{0,02(0,95)}{0,02(0,95)+0,98(0,04)}\approx0,3265.$$

• Os 95% não são a probabilidade de defeito após alarme. Tabela dos alarmes esperados.