Probabilidades e Bayes

Num lançamento de um dado equilibrado, os resultados 1 a 6 têm a mesma probabilidade, $1/6$. A simetria do mecanismo justifica este modelo equiprovável. Dizer apenas «ao acaso» não garante probabilidades iguais.

Espaço amostral e acontecimentos

O espaço amostral $\Omega$ contém os resultados. Um acontecimento $A$ é um subconjunto de $\Omega$. Num lançamento de dois dados, os 36 pares ordenados são equiprováveis se os dados forem equilibrados e independentes. As somas de 2 a 12 não são: há um par para a soma 2 e seis para a soma 7.

$A\cup B$ significa A ou B, incluindo ambos; $A\cap B$ significa ambos; $A^c$ significa não A; $A\setminus B=A\cap B^c$ significa A sem B. As leis de De Morgan dão

$$(A\cup B)^c=A^c\cap B^c,\qquad (A\cap B)^c=A^c\cup B^c.$$

Uma probabilidade é não negativa, satisfaz $P(\Omega)=1$ e soma-se em acontecimentos disjuntos. Daí resultam

$$P(A^c)=1-P(A),\qquad P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$$

Subtrai-se a interseção porque foi contada duas vezes; se A e B são incompatíveis, $A\cap B=\varnothing$ e essa parcela é zero.

Contar resultados equiprováveis

Num espaço finito equiprovável, $P(A)=|A|/|\Omega|$. Para escolher $k$ unidades de $n$ sem ordem nem reposição, o número de subconjuntos é

$$\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$

Se a ordem interessa, existem $n!/(n-k)!$ sequências sem reposição e $n^k$ sequências com reposição; decide primeiro se «escolher uma comissão» e «atribuir cargos» representam a mesma operação, pois normalmente não representam.

Exemplo. Um lote contém seis peças aprovadas e quatro rejeitadas. Escolhem-se três sem reposição. Existem $\binom{10}3=120$ subconjuntos. Para obter exatamente duas aprovadas, escolhemos duas das seis e uma das quatro:

$$P=\frac{\binom62\binom41}{\binom{10}3}=\frac{60}{120}=0,5.$$

Com reposição independente, a probabilidade de aprovação em cada escolha permanece 0,6; há três posições possíveis para a única rejeição e a probabilidade passa a $3(0,6)^2(0,4)=0,432$, pois o desenho mudou o modelo.

Condicionar e multiplicar

Se $P(B)>0$,

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$

O denominador restringe o universo aos casos em B. Em geral, $P(A\mid B)$ não é $P(B\mid A)$.

Reorganizando,

$$P(A\cap B)=P(B)P(A\mid B)=P(A)P(B\mid A).$$

A e B são independentes quando $P(A\cap B)=P(A)P(B)$. Se $P(B)>0$, isso equivale a $P(A\mid B)=P(A)$. Incompatibilidade e independência são conceitos diferentes: dois acontecimentos incompatíveis com probabilidades positivas não são independentes.

Para mais de dois acontecimentos, independência aos pares não garante independência conjunta; só multiplica todas as probabilidades quando a independência necessária estiver justificada.

Probabilidade total e Bayes

Uma partição $B_1,\ldots,B_k$ divide $\Omega$ em acontecimentos disjuntos que cobrem todos os resultados, cada um com $P(B_i)>0$. Então,

$$P(A)=\sum_i P(B_i)P(A\mid B_i).$$

Cada termo corresponde a um caminho possível até A. Bayes inverte a condicionada:

$$P(B_j\mid A)=\frac{P(B_j)P(A\mid B_j)}{\sum_iP(B_i)P(A\mid B_i)},\qquad P(A)>0.$$

Alarmes e probabilidade de defeito

Uma linha produz 2% de peças defeituosas. Um sensor assinala 95% das defeituosas e também assinala, por engano, 4% das peças boas. Seja D «defeituosa» e A «alarme».

O sensor tem $P(A\mid D)=0,95$, $P(A\mid D^c)=0,04$ e $P(D)=0,02$. Pela probabilidade total,

$$P(A)=0,02(0,95)+0,98(0,04)=0,0582.$$

A probabilidade de uma peça ser defeituosa sabendo que deu alarme é

$$P(D\mid A)=\frac{0,019}{0,0582}\approx0,3265.$$

Em 10 000 peças esperamos cerca de 200 defeituosas, das quais 190 dão alarme. Das 9 800 boas, cerca de 392 também dão alarme. Apenas 190 dos 582 alarmes correspondem a defeitos. Os 95% descrevem deteção entre defeitos, não defeitos entre alarmes.

Em 10 000 peças	Alarme	Sem alarme	Total
Defeituosa	190	10	200
Boa	392	9408	9800
Total	582	9418	10 000

A coluna dos alarmes é o novo universo da pergunta condicionada: dividimos 190 por 582, não por 200 nem por 10 000. As contagens são esperadas sob o modelo, não observações recolhidas.

Se se pede pelo menos um alarme em cinco peças independentes, usa o complemento: $1-(1-0,0582)^5$. Se as peças partilham um defeito de lote, revê essa independência, porque o lote passa a ser um fator comum.