Probabilidades e Teorema de Bayes

A descritiva resume o que aconteceu. As probabilidades quantificam o que pode acontecer: atribuem números entre 0 e 1 aos resultados possíveis de uma experiência aleatória. Esta página dá as regras desse cálculo e a ferramenta mais traiçoeira da cadeira, o Teorema de Bayes, que inverte probabilidades condicionadas.

Espaço amostral e acontecimentos

Uma experiência aleatória tem resultado incerto mas conjunto de resultados possíveis conhecido. O espaço amostral $\Omega$ é esse conjunto; um acontecimento é um subconjunto de $\Omega$. Lançar um dado: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$; “sair par” é o acontecimento $\{2, 4, 6\}$.

Como os acontecimentos são conjuntos, tudo o que aprendeste sobre operações com conjuntos aplica-se diretamente: “A ou B” é $A \cup B$, “A e B” é $A \cap B$, “não A” é o complementar $\bar{A}$. A probabilidade respeita três axiomas: $P(A) \ge 0$ para todo o acontecimento, $P(\Omega) = 1$, e acontecimentos disjuntos somam, $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ se $A \cap B = \emptyset$.

Duas consequências que vais usar sem parar:

• Complementar: $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.
• União geral: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$, porque a interseção foi contada duas vezes.

Probabilidade condicional e independência

Saber que $B$ aconteceu muda a probabilidade de $A$. A probabilidade condicional é:

$$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0.$$

Lê-se “probabilidade de $A$ dado $B$”: restringes o universo a $B$ e medes $A$ lá dentro. Daqui sai a regra da multiplicação, $P(A \cap B) = P(A \mid B)\,P(B)$, que encadeia condicionadas em sequência (útil em diagramas de árvore).

Dois acontecimentos são independentes quando saber um não muda o outro: $P(A \mid B) = P(A)$, ou equivalentemente $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$. Atenção à distinção que mais chumba: disjuntos ($A \cap B = \emptyset$, não podem ocorrer juntos) não é o mesmo que independentes (a ocorrência de um não informa o outro). Dois acontecimentos disjuntos com probabilidade positiva nunca são independentes, porque saber que um ocorreu diz-te que o outro não ocorreu.

Teorema da Probabilidade Total e Bayes

Se $B_1, \dots, B_k$ partem $\Omega$ (disjuntos e cobrindo tudo), qualquer acontecimento $A$ decompõe-se por eles:

$$P(A) = \sum_{i=1}^{k} P(A \mid B_i)\,P(B_i).$$

É o Teorema da Probabilidade Total: calcula $P(A)$ pesando cada cenário. Combinado com a definição de condicional, dá o Teorema de Bayes:

$$P(B_j \mid A) = \frac{P(A \mid B_j)\,P(B_j)}{\sum_i P(A \mid B_i)\,P(B_i)}.$$

Bayes inverte a seta: conheces $P(A \mid B)$ (o teste dispara quando há doença) e queres $P(B \mid A)$ (há doença quando o teste dispara). Confundir uma com a outra é a falácia da taxa base, e o exemplo seguinte mostra como ela morde.

Exemplo: o teste de diagnóstico

Um teste deteta uma doença com sensibilidade $P(+ \mid D) = 0{,}99$ e especificidade $P(- \mid \bar{D}) = 0{,}95$, logo a taxa de falsos positivos é $P(+ \mid \bar{D}) = 0{,}05$. A doença afeta 1 por cento da população: $P(D) = 0{,}01$. Um utente testa positivo. Qual a probabilidade de estar doente, $P(D \mid +)$?

Primeiro a probabilidade total de um positivo:

$$P(+) = 0{,}99 \times 0{,}01 + 0{,}05 \times 0{,}99 = 0{,}0099 + 0{,}0495 = 0{,}0594.$$

Depois Bayes:

$$P(D \mid +) = \frac{0{,}0099}{0{,}0594} = \frac{1}{6} \approx 0{,}167.$$

Só 16,7 por cento. Apesar de o teste acertar 99 por cento dos doentes, a doença é tão rara que os falsos positivos (5 por cento de 99 por cento de saudáveis) afogam os verdadeiros. A intuição diz “99 por cento de certeza”; a conta diz “1 em 6”. É por isso que rastreios positivos pedem sempre um segundo teste: a taxa base manda mais do que a precisão do teste.