Intervalos de confiança para uma média

Uma amostra de 64 peças tem comprimento médio de 102 mm. Essa média estima a média da população; outra amostra daria outro valor. O intervalo de confiança usa a distribuição da média amostral para quantificar a incerteza, sob condições explícitas.

O que significa confiança

Depois de observar um intervalo, não atribuímos uma probabilidade de 95% ao parâmetro estar entre aqueles extremos na interpretação frequentista. Também não dizemos que 95% dos dados individuais estão ali. O alvo é a média populacional, não a dispersão das observações.

A figura ilustra o significado da cobertura; uma série real de vinte intervalos não tem obrigatoriamente dezanove acertos.

Normal com desvio conhecido

Para uma amostra i.i.d. normal com desvio populacional $\sigma$ conhecido,

Escolhemos $z_{\alpha/2}$ com área $\alpha/2$ à direita. A probabilidade central é $1-\alpha$. Para ver de onde vêm os extremos, chama $e=\sigma/\sqrt n$ ao erro padrão e reorganiza a desigualdade:

Os limites dependem da média amostral; a média populacional continua fixa. Depois de observar os dados, obtemos

A margem de erro é $\varepsilon=z_{\alpha/2}\sigma/\sqrt n$; maior confiança exige maior quantil, por isso alarga o intervalo.

Exemplo. Numa população normal de comprimentos, $\sigma=8$ mm. Uma amostra de 64 unidades dá $\bar x=102$. Para 95%, o erro padrão é 1 e a margem é 1,96:

Para 99%, o quantil é aproximadamente 2,5758 e o intervalo passa a $[99,4242;104,5758]$; os dados são os mesmos, mudou apenas a confiança do procedimento.

Normal com desvio desconhecido

Substituir $\sigma$ pelo desvio amostral S introduz incerteza adicional. Na população normal,

O intervalo exato, sob essas condições, é

Isto continua a ser verdade com n grande: se a população é normal e $\sigma$ é desconhecido, a t é a distribuição correta. A normal torna-se uma aproximação próxima quando os graus de liberdade crescem.

Intervalo t com medições brutas

Cinco medições, em mm, são $10,1;10,3;10,2;10,4;10,0$. Admitimos unidades independentes e população normal. A média é 10,2 e os desvios quadrados somam $0,01+0,01+0+0,04+0,04=0,10$.

A 95%, $t_{0,025;4}\approx2,7764$. A margem é aproximadamente 0,19632 e o intervalo é

Se forem pedidos limites com duas casas decimais por excesso, escreve $[10,00;10,40]$: baixa o limite inferior e sobe o superior para não estreitar o intervalo calculado. Não arredondes s ou o erro padrão antes da multiplicação.

População não normal

Com uma amostra grande e condições razoáveis para o limite central, usa-se aproximadamente

se o desvio é desconhecido, ou $\sigma/\sqrt n$ se é conhecido. Identifica a aproximação e examina assimetria e extremos: uma população não normal com cinco observações não fica coberta por esta regra. Um desvio fornecido a partir de «experiência anterior» pode ser apenas uma estimativa; o uso como $\sigma$ conhecido é uma condição do modelo que tem de estar explícita, pois a presença de um número no enunciado não chega para decidir.

Dimensionar uma amostra

Para margem não superior a $\varepsilon$, confiança $1-\alpha$ e desvio conhecido,

Arredonda para o menor inteiro que satisfaz a desigualdade. Com 95%, $\sigma=8$ e margem 1,5, temos $n\ge109,2722$, logo 110 unidades; a média amostral não entra no planeamento desta margem. Se se pede erro padrão não superior a 1,5, a conta é outra: $8/\sqrt n\le1,5$ exige 29 unidades, pois erro padrão e margem de confiança não são sinónimos.

Com desvio desconhecido, um estudo piloto pode fornecer uma estimativa para planeamento. O quantil t depende de n, pelo que o cálculo pode exigir iteração e não garante a margem final se o desvio observado mudar.

Planeamento com um desvio estimado

Um piloto sugere $s=3,5$ cm. Para planear um intervalo t bilateral de 95% com margem no máximo 2 cm, admitimos população normal e, apenas para esta conta, que o desvio amostral se manterá em 3,5 qualquer que seja n.

Usar 1,96 daria $n\ge(1,96\times3,5/2)^2\approx11,76$, apontando para 12. Mas o procedimento escolhido usa t, cujo quantil é maior e depende de n. Temos de verificar

Com $n=14$, $t_{0,025;13}=2,1604$ dá margem aproximadamente 2,0209 cm, ainda excessiva. Com $n=15$, $t_{0,025;14}=2,1448$ dá 1,9382 cm. Para esta confiança, o quantil positivo diminui com os graus de liberdade e $1/\sqrt n$ também diminui; como 14 falha e 15 passa, o menor tamanho é 15.

Esta conclusão depende da hipótese artificial de desvio constante. Num estudo real, o novo s é aleatório: 15 é um tamanho de planeamento segundo o piloto, não uma garantia de que a margem final ficará abaixo de 2 cm.

Mantendo confiança e dispersão, reduzir a margem para metade exige aproximadamente quatro vezes a amostra. Com os mesmos dados, obter um intervalo mais estreito reduzindo a confiança troca precisão por cobertura; não aumenta a informação recolhida.

Intervalos unilaterais

Para um limite inferior de confiança $1-\alpha$, usa-se $[\bar x-z_\alpha\sigma/\sqrt n;+\infty[$; para um limite superior, usa-se $]-\infty;\bar x+z_\alpha\sigma/\sqrt n]$. Com desvio desconhecido e população normal, substitui z por $t_{\alpha,n-1}$ e $\sigma$ por s. Só há uma cauda, logo o quantil usa $\alpha$, não $\alpha/2$; escolhe o sentido a partir da pergunta, antes de examinar o resultado.