# Intervalos de confiança

Intervalos para a média e para proporções, escolha entre z e t e dimensionamento do tamanho da amostra.

Página: https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/intervalos-confianca/

Uma estimativa pontual (“a média é 49,2”) esconde a incerteza. O **intervalo de confiança** junta-lhe a margem: “a média está entre 46,2 e 52,2 com 95 por cento de confiança”. Esta página constrói esses intervalos para médias e proporções e mostra como escolher o tamanho da amostra para uma margem pedida.

## A estrutura de todos os intervalos

Todos os intervalos desta cadeira têm a mesma forma:

$$
\text{estimativa} \pm \text{valor crítico} \times \text{erro padrão}.
$$

A estimativa é a estatística da amostra ($\bar{x}$ ou $\hat{p}$). O valor crítico vem da tabela ($z$ ou $t$) e cresce com a confiança pedida: 1,96 para 95 por cento com $z$. O erro padrão mede a variabilidade da estimativa. Decorar esta estrutura vale mais do que decorar cada fórmula, porque cada caso é só uma substituição.

Para a média com **desvio conhecido** $\sigma$: $\bar{x} \pm z_{1-\alpha/2}\,\sigma/\sqrt{n}$. Para a média com **desvio desconhecido** (o caso usual): $\bar{x} \pm t_{n-1;\,1-\alpha/2}\,s/\sqrt{n}$, com a [$t$ de Student](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/intervalos-confianca/distribuicoes/) a alargar o intervalo quando $n$ é pequeno. Para uma **proporção** com $n$ grande: $\hat{p} \pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}$.

## Exemplo: intervalo a 95 por cento para a média

Dezasseis medições de latência dão $\bar{x} = 49{,}2$ ms e $s = 5{,}6$ ms, com o desvio populacional desconhecido. O intervalo a 95 por cento para a média $\mu$ usa $t$ com $15$ graus de liberdade: $t_{15;\,0{,}975} = 2{,}131$. A margem é $2{,}131 \times 5{,}6/\sqrt{16} = 2{,}131 \times 1{,}4 \approx 2{,}98$, logo:

$$
IC_{95\%}(\mu) = (49{,}2 - 2{,}98;\; 49{,}2 + 2{,}98) = (46{,}22;\; 52{,}18).
$$

Com $z$ (1,96 em vez de 2,131) a margem sairia 2,74, mais estreita e injustificada: com 16 observações e desvio estimado, a incerteza extra paga-se em largura. É a regra de escolha entre [$z$ e $t$](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/intervalos-confianca/distribuicoes/) em ação.

Confere o intervalo correndo as contas:

```python
import math
xbar, s, n, t = 49.2, 5.6, 16, 2.131
margem = t * s / math.sqrt(n)
print("IC95%:", (round(xbar - margem, 2), round(xbar + margem, 2)))
```

Compara o mesmo exemplo com as duas distribuições:

Margem $2{,}131 \times 5{,}6/4 = 2{,}98$, intervalo $(46{,}22;\; 52{,}18)$. O $t_{15}$ alarga a margem para compensar o desvio estimado com 16 observações.

Margem $1{,}96 \times 5{,}6/4 = 2{,}74$, intervalo $(46{,}46;\; 51{,}94)$. Mais estreito e mais bonito, mas injustificado: finge que o 5,6 é o desvio populacional conhecido.

## Exemplo: intervalo para uma proporção

Trezentos e quarenta em 500 utilizadores convertem: $\hat{p} = 340/500 = 0{,}68$. Com $n$ grande, o intervalo a 95 por cento usa $z$:

$$
0{,}68 \pm 1{,}96\sqrt{\frac{0{,}68 \times 0{,}32}{500}} = 0{,}68 \pm 1{,}96 \times 0{,}0209 \approx 0{,}68 \pm 0{,}041 = (0{,}639;\; 0{,}721).
$$

A taxa de conversão está entre 63,9 e 72,1 por cento com 95 por cento de confiança. Repara na diferença para a média: aqui o erro padrão usa o próprio $\hat{p}$ (não há desvio separado a estimar), e nunca se usa $t$ para proporções.

## O que “95 por cento de confiança” significa

Significa isto e só isto: se repetisses a amostragem muitas vezes e construisses o intervalo em cada uma, cerca de 95 por cento dos intervalos conteriam o verdadeiro $\mu$. Não significa que este intervalo específico tem 95 por cento de hipótese de conter $\mu$ (ele contém ou não contém; $\mu$ não é aleatório). E não significa que 95 por cento dos dados estão dentro do intervalo (isso seria um intervalo de predição, outra coisa). Quando o enunciado pedir interpretação, escreve a versão das repetições: é a que os corretores esperam.

Vinte intervalos repetidos para a mesma média: dezanove cobrem o verdadeiro valor, um falha. É isto que “95 por cento” promete, nem mais nem menos.

![Vinte intervalos de confiança horizontais em torno da média verdadeira 48. Dezanove cruzam a linha vertical do 48; um, deslocado para a direita, falha.](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/intervalos-confianca/figura-1.svg)

O intervalo que falha não está errado: com 95 por cento de confiança, esperas falhar cerca de 1 em cada 20. O erro seria julgar um intervalo isolado pela sorte que teve.

## Ver

[Vídeo: Simulação de intervalos de confiança, Khan Academy](https://www.youtube.com/watch?v=bGALoCckICI)

A miniatura vem do YouTube. O vídeo só carrega quando clicas. [Abrir no YouTube](https://www.youtube.com/watch?v=bGALoCckICI)

## Dimensionar a amostra

Para garantir uma margem de erro $E$ com confiança $1 - \alpha$ na média com desvio conhecido (ou estimado por um valor provisório):

$$
n = \left(\frac{z_{1-\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2,
$$

arredondando sempre **para cima**. Exemplo: margem de 1 ms a 95 por cento com $\sigma \approx 6$ ms dá $n = (1{,}96 \times 6/1)^2 = 11{,}76^2 \approx 138{,}3$, logo $n = 139$ observações. Repara na escala: cortar a margem para metade exige quatro vezes mais dados, porque $n$ entra com raiz quadrada na margem.