Estatística descritiva

Antes de qualquer probabilidade ou teste, há uma pergunta simples: o que dizem estes dados. A estatística descritiva resume uma amostra em tabelas, gráficos e meia dúzia de números bem escolhidos. O objetivo não é decorar fórmulas, é olhar para 40 medições e conseguir dizer onde está o centro, quanto espalham e se há valores estranhos.

Tipos de dados e escalas

Nem todos os dados aceitam as mesmas contas. Classifica primeiro:

• Qualitativos nominais: categorias sem ordem, como o sistema operativo do telemóvel. Podes contar, não podes ordenar nem somar.
• Qualitativos ordinais: categorias com ordem, como “mau, razoável, bom”. Podes ordenar e tirar a mediana, mas a média não faz sentido (quanto vale “razoável mais bom a dividir por dois”?).
• Quantitativos discretos: contagens, como o número de erros por pedido. Média e o resto funcionam.
• Quantitativos contínuos: medições, como tempos de resposta em milissegundos. Também aceitam tudo, e agrupam-se em classes para tabelas e histogramas.

O exemplo: 40 tempos de resposta

Uma amostra de 40 tempos de resposta de um servidor, em milissegundos:

42, 38, 51, 47, 44, 55, 39, 48, 52, 46, 43, 57, 41, 49, 50, 45, 53, 40, 56, 47, 44, 52, 48, 39, 61, 46, 50, 43, 54, 49, 45, 58, 41, 47, 52, 44, 49, 55, 46, 51

São dados quantitativos contínuos. A tabela de frequências com classes de amplitude 5 resume-os:

Classe	Frequência	Frequência relativa
[35, 40[	3	0,075
[40, 45[	9	0,225
[45, 50[	13	0,325
[50, 55[	9	0,225
[55, 60[	5	0,125
[60, 65[	1	0,025

O histograma desenha estas frequências como barras: aqui verias uma forma quase simétrica centrada perto de 47, com uma cauda curta para a direita por causa do 61. O gráfico mostra num segundo o que a tabela mostra num minuto.

Medidas de localização

• Média $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum x_i$. Aqui a soma dá 1917, logo $\bar{x} = 1917/40 = 47{,}925$, cerca de 47,9 ms.
• Mediana: o valor do meio com os dados ordenados. Com $n = 40$ é a média do 20.º e do 21.º valores ordenados: $(47 + 48)/2 = 47{,}5$ ms. Metade das medições está abaixo, metade acima.
• Moda: o valor mais frequente. Aqui há empate entre 47, 49 e 52 (três ocorrências cada), por isso a moda pouco informa e não a usamos.
• Quartis: $Q_1 = 44$ ms (25 por cento abaixo), $Q_3 = 52$ ms (75 por cento abaixo). O intervalo interquartil $IQR = Q_3 - Q_1 = 8$ ms mede o espalhamento da metade central.

Repara que média (47,9) e mediana (47,5) estão próximas: sinal de distribuição aproximadamente simétrica, sem valores extremos a puxar a média. Quando diferem muito, desconfia de outliers e prefere a mediana.

Medidas de dispersão

• Amplitude: máximo menos mínimo, $61 - 38 = 23$ ms. Rápida mas refém dos extremos.
• Variância amostral: $s^2 = \frac{1}{n-1}\sum (x_i - \bar{x})^2$. Com a soma dos quadrados a dar 93113, $s^2 = (93113/40 - 47{,}925^2)\times 40/39 \approx 31{,}8$.
• Desvio padrão amostral: $s = \sqrt{31{,}8} \approx 5{,}6$ ms. É a medida de espalhamento que vais usar em tudo o resto, sempre na mesma unidade dos dados.

Leitura final do exemplo

Em duas frases: os tempos centram-se perto de 48 ms, com metade das medições entre 44 e 52 ms e um espalhamento típico de cerca de 6 ms. Há um valor alto isolado (61 ms) que merece investigação, mas não chega para deslocar o centro. Esta é a matéria-prima das páginas seguintes: a média 47,9 e o desvio 5,6 voltam nos intervalos de confiança e nos testes de hipóteses.