# Estatística descritiva

Tipos de dados, tabelas de frequências, gráficos e medidas de localização e dispersão com um exemplo completo.

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Antes de qualquer probabilidade ou teste, há uma pergunta simples: o que dizem estes dados. A estatística descritiva resume uma amostra em tabelas, gráficos e meia dúzia de números bem escolhidos. O objetivo não é decorar fórmulas, é olhar para 40 medições e conseguir dizer onde está o centro, quanto espalham e se há valores estranhos.

## Tipos de dados e escalas

Nem todos os dados aceitam as mesmas contas. Classifica primeiro:

*   **Qualitativos nominais**: categorias sem ordem, como o sistema operativo do telemóvel. Podes contar, não podes ordenar nem somar.
*   **Qualitativos ordinais**: categorias com ordem, como “mau, razoável, bom”. Podes ordenar e tirar a mediana, mas a média não faz sentido (quanto vale “razoável mais bom a dividir por dois”?).
*   **Quantitativos discretos**: contagens, como o número de erros por pedido. Média e o resto funcionam.
*   **Quantitativos contínuos**: medições, como tempos de resposta em milissegundos. Também aceitam tudo, e agrupam-se em classes para tabelas e histogramas.

Média de dados ordinais não existe

O erro clássico é calcular a média de uma escala de 1 a 5 de satisfação e tratar 3,7 como medida precisa. Os intervalos entre “2” e “3” e entre “4” e “5” não são iguais, por isso a média engana. Com dados ordinais usa a mediana e as frequências de cada categoria.

## O exemplo: 40 tempos de resposta

Uma amostra de 40 tempos de resposta de um servidor, em milissegundos:

42, 38, 51, 47, 44, 55, 39, 48, 52, 46, 43, 57, 41, 49, 50, 45, 53, 40, 56, 47, 44, 52, 48, 39, 61, 46, 50, 43, 54, 49, 45, 58, 41, 47, 52, 44, 49, 55, 46, 51

São dados quantitativos contínuos. A tabela de frequências com classes de amplitude 5 resume-os:

| Classe | Frequência | Frequência relativa |
| --- | --- | --- |
| \[35, 40\[ | 3 | 0,075 |
| \[40, 45\[ | 9 | 0,225 |
| \[45, 50\[ | 13 | 0,325 |
| \[50, 55\[ | 9 | 0,225 |
| \[55, 60\[ | 5 | 0,125 |
| \[60, 65\[ | 1 | 0,025 |

O **histograma** desenha estas frequências como barras: aqui verias uma forma quase simétrica centrada perto de 47, com uma cauda curta para a direita por causa do 61. O gráfico mostra num segundo o que a tabela mostra num minuto.

![Histograma dos 40 tempos com 6 classes. As barras sobem até 13 na classe 45–50 e descem para 1 na classe 60–65, onde o valor isolado 61 está marcado. Linhas a tracejado marcam a média 47,9 e a mediana 47,5.](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/estatistica-descritiva/figura-1.svg)

Repara no gráfico: a média e a mediana caem quase na mesma barra central, e só a última barra foge do padrão. É assim que se lê um histograma em exame: centro, espalhamento e o que destoa.

## Medidas de localização

*   **Média** $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum x_i$. Aqui a soma dá 1917, logo $\bar{x} = 1917/40 = 47{,}925$, cerca de 47,9 ms.
*   **Mediana**: o valor do meio com os dados ordenados. Com $n = 40$ é a média do 20.º e do 21.º valores ordenados: $(47 + 48)/2 = 47{,}5$ ms. Metade das medições está abaixo, metade acima.
*   **Moda**: o valor mais frequente. Aqui há empate entre 47, 49 e 52 (três ocorrências cada), por isso a moda pouco informa e não a usamos.
*   **Quartis**: $Q_1 = 44$ ms (25 por cento abaixo), $Q_3 = 52$ ms (75 por cento abaixo). O intervalo interquartil $IQR = Q_3 - Q_1 = 8$ ms mede o espalhamento da metade central.

Repara que média (47,9) e mediana (47,5) estão próximas: sinal de distribuição aproximadamente simétrica, sem valores extremos a puxar a média. Quando diferem muito, desconfia de outliers e prefere a mediana.

## Medidas de dispersão

*   **Amplitude**: máximo menos mínimo, $61 - 38 = 23$ ms. Rápida mas refém dos extremos.
*   **Variância amostral**: $s^2 = \frac{1}{n-1}\sum (x_i - \bar{x})^2$. Com a soma dos quadrados a dar 93113, $s^2 = (93113/40 - 47{,}925^2)\times 40/39 \approx 31{,}8$.
*   **Desvio padrão amostral**: $s = \sqrt{31{,}8} \approx 5{,}6$ ms. É a medida de espalhamento que vais usar em tudo o resto, sempre na mesma unidade dos dados.

Confere as contas do exemplo correndo o cálculo:

```python
dados = [42, 38, 51, 47, 44, 55, 39, 48, 52, 46, 43, 57, 41, 49, 50, 45, 53, 40, 56, 47, 44, 52, 48, 39, 61, 46, 50, 43, 54, 49, 45, 58, 41, 47, 52, 44, 49, 55, 46, 51]
n = len(dados)
media = sum(dados) / n
ordem = sorted(dados)
mediana = (ordem[n // 2 - 1] + ordem[n // 2]) / 2
q1 = ordem[n // 4]
q3 = ordem[3 * n // 4]
s = (sum((x - media) ** 2 for x in dados) / (n - 1)) ** 0.5
print("media:", round(media, 2))
print("mediana:", mediana)
print("Q1:", q1, " Q3:", q3)
print("desvio s:", round(s, 2))
```

A saída dá média 47,92, mediana 47,5, quartis 44 e 52 e desvio 5,64: os mesmos números da página. O método dos quartis aqui (posição $n/4$ nos dados ordenados) é o que a cadeira usa nestes exemplos.

Populacional contra amostral: o $n - 1$

A variância da **população** divide por $n$; a variância **amostral** divide por $n - 1$. O $n - 1$ corrige o viés de estimar o espalhamento a partir da própria média da amostra, que está sempre “demasiado perto” dos dados[1](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/estatistica-descritiva/#user-content-fn-n1). Nas fórmulas de inferência usa sempre a versão amostral $s$, a não ser que o enunciado diga explicitamente que o desvio populacional $\sigma$ é conhecido.

## Leitura final do exemplo

Em duas frases: os tempos centram-se perto de 48 ms, com metade das medições entre 44 e 52 ms e um espalhamento típico de cerca de 6 ms. Há um valor alto isolado (61 ms) que merece investigação, mas não chega para deslocar o centro. Esta é a matéria-prima das páginas seguintes: a média 47,9 e o desvio 5,6 voltam nos [intervalos de confiança](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/estatistica-descritiva/intervalos-confianca/) e nos [testes de hipóteses](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/estatistica-descritiva/testes-hipoteses/).

## Notas de rodapé

1.  Intuição dos graus de liberdade: depois de fixares a média da amostra, só $n - 1$ desvios são livres, porque o último fica determinado pelos outros. É por isso que a correção usa exatamente $n - 1$, e é também por isso que os testes $t$ mais à frente usam $n - 1$ graus de liberdade. [Voltar](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/estatistica-descritiva/#user-content-fnref-n1)