Distribuições e tabelas

Inspecionar 12 peças e medir a espera até à próxima falha produzem variáveis diferentes. Na primeira pergunta, o número de tentativas está fixado; na segunda, o tempo pode continuar a crescer. É o mecanismo, juntamente com as hipóteses, que determina o modelo.

Bernoulli e binomial

Uma Bernoulli de parâmetro p vale 1 com probabilidade p e 0 com probabilidade $1-p$; a sua média é p e a variância é $p(1-p)$. A soma de n Bernoulli independentes com o mesmo p é binomial. Escrevemos $X\sim B(n,p)$ e

$$P(X=k)=\binom nkp^k(1-p)^{n-k},\quad k=0,\ldots,n,$$ $$E(X)=np,\qquad \operatorname{Var}(X)=np(1-p).$$

O modelo exige quatro condições: número fixo de tentativas, dois resultados por tentativa, independência e probabilidade constante. «Sucesso» é o resultado que estás a contar, mesmo que seja uma falha.

Probabilidade de pelo menos duas falhas

Inspecionam-se 12 peças independentes com probabilidade de falha 0,2. Para X, número de falhas, $X\sim B(12;0,2)$. «Pelo menos duas» significa $X\ge2$:

$$P(X\ge2)=1-P(X=0)-P(X=1) =1-0,8^{12}-12(0,2)0,8^{11}\approx0,7251.$$

Em $P(X=1)$, o fator 12 escolhe a posição da única falha. O produto $0,2(0,8)^{11}$ dá a probabilidade de uma dessas sequências, usando a independência. Somamos as doze sequências disjuntas antes de usar o complemento.

O valor esperado é 2,4 falhas; não é uma previsão de que aparecerão exatamente 2,4. Para «mais de duas», teríamos de subtrair também $P(X=2)$.

Ler uma tabela acumulada

Se a tabela dá $F(k)=P(X\le k)$,

$$P(X=k)=F(k)-F(k-1),\quad P(X\ge k)=1-F(k-1),$$ $$P(a\le X\le b)=F(b)-F(a-1)$$

para limites inteiros. Para probabilidades p acima das colunas disponíveis, usa o número de insucessos: $n-X\sim B(n,1-p)$. Por exemplo, $X\ge9$ em 12 tentativas equivale a $12-X\le3$. Numa tabela impressa, procura a linha da contagem $k$ e a coluna da probabilidade $p$. A célula dá $F(k)$. Se a tua $p$ está acima das colunas impressas, troca sucessos por insucessos e lê a coluna complementar.

Normal

$X\sim N(\mu,\sigma^2)$ tem densidade

$$f_X(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right),\qquad \sigma>0.$$

O segundo parâmetro é a variância. A curva é simétrica em torno de $\mu$, que também é mediana e moda. Padronizar remove centro e escala:

$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1).$$

A tabela acumulada da normal dá $\Phi(z)=P(Z\le z)$. Usa $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$ e calcula intervalos por diferença de acumuladas.

Exemplo. Se $X\sim N(100,16)$, então $\sigma=4$:

$$P(X>106)=1-\Phi(1,5)\approx0,0668,$$ $$P(96<X<108)=\Phi(2)-\Phi(-1)\approx0,8186.$$

Probabilidade conhecida, limite desconhecido

O percentil 95 a satisfaz $P(X\le a)=0,95$. Procuramos $\Phi(z)=0,95$, obtendo $z\approx1,6449$:

$$a=100+4(1,6449)\approx106,5794.$$

Neste curso, o quantil crítico $z_\alpha$ é definido pela cauda direita: $P(Z>z_\alpha)=\alpha$; assim, $z_{0,05}\approx1,6449$ e $z_{0,025}\approx1,9600$. Não confundas a área à direita com a probabilidade acumulada à esquerda.

Os intervalos $\mu\pm\sigma$, $\mu\pm2\sigma$ e $\mu\pm3\sigma$ contêm aproximadamente 68,27%, 95,45% e 99,73% da população normal. Não são intervalos de confiança para a média.

Combinações lineares de normais independentes continuam normais. Se $X_1,X_2\sim N(100,16)$ são independentes, $X_1+X_2\sim N(200,32)$ e $X_1-X_2\sim N(0,32)$. Calcula a variância e só depois tira a raiz para obter o desvio.

t, qui-quadrado e F

Se $Z\sim N(0,1)$ e $U\sim\chi^2_\nu$ são independentes,

$$T=\frac Z{\sqrt{U/\nu}}\sim t_\nu.$$

A t é simétrica, com caudas mais pesadas do que a normal; aproxima-se dela quando os graus de liberdade $\nu$ crescem. Para a média de uma amostra normal com desvio desconhecido, aparece $\nu=n-1$. O quantil $t_{\alpha,\nu}$ satisfaz $P(T>t_{\alpha,\nu})=\alpha$. A 95% bilateral e com $n=6$, usa-se $t_{0,025;5}\approx2,5706$, maior do que 1,96.

A soma dos quadrados de $\nu$ normais padrão independentes tem distribuição $\chi^2_\nu$. Só toma valores não negativos, tem média $\nu$ e variância $2\nu$. O quantil $\chi^2_{\alpha,\nu}$ deixa área $\alpha$ à direita. Com dois graus de liberdade, $\chi^2_{0,05;2}\approx5,9915$.

Se $U\sim\chi^2_{\nu_1}$ e $V\sim\chi^2_{\nu_2}$ são independentes, $(U/\nu_1)/(V/\nu_2)\sim F_{\nu_1,\nu_2}$. Esta distribuição positiva depende de dois graus de liberdade: trocar numerador e denominador troca os graus e dá o inverso da variável. Se as somas de quadrados observadas forem $U=12$ e $V=18$, com $\nu_1=6$ e $\nu_2=9$ graus, então $F=(12/6)/(18/9)=1$. Para reconhecer estes modelos, conserva a origem e os graus de liberdade, não apenas o nome da tabela.

Outros mecanismos, para reconhecer e consultar

Binomial, normal, t e qui-quadrado são o núcleo usado na inferência desta cadeira. Os modelos seguintes servem para reconhecer o mecanismo e consultar a fórmula quando um exercício os pedir.

Modelo	O que conta ou mede	Parâmetros e momentos
Hipergeométrica	Sucessos em n escolhas sem reposição de N unidades, K sucessos	$P(X=k)=\binom Kk\binom{N-K}{n-k}/\binom Nn$; $E(X)=nK/N$; variância $np(1-p)(N-n)/(N-1)$, com $p=K/N$ e $N>1$
Poisson	Número de ocorrências num intervalo, sob um modelo de taxa constante e ocorrências independentes	$P(X=k)=e^{-\lambda}\lambda^k/k!$; média e variância $\lambda$
Geométrica	Número de tentativas até ao primeiro sucesso, incluindo-o	$P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$; média $1/p$, variância $(1-p)/p^2$
Binomial negativa	Tentativas até ao r-ésimo sucesso, incluindo-o	$P(X=k)=\binom{k-1}{r-1}p^r(1-p)^{k-r}$; média $r/p$, variância $r(1-p)/p^2$
Uniforme contínua	Valor com densidade constante em $[a,b]$	$f=1/(b-a)$; média $(a+b)/2$, variância $(b-a)^2/12$
Exponencial	Espera até à próxima ocorrência num processo de Poisson	$P(X>t)=e^{-\lambda t}$ para $t\ge0$; média $1/\lambda$, variância $1/\lambda^2$

Na hipergeométrica, N, K e n são inteiros, com $0\le K\le N$ e $0\le n\le N$; k vai de $\max(0,n-(N-K))$ até $\min(n,K)$. A geométrica e a binomial negativa pressupõem ensaios de Bernoulli independentes com p constante, $0<p<1$: contam tentativas, com $k\ge1$ ou $k\ge r$, respetivamente, e r inteiro positivo. Noutra convenção contam-se apenas insucessos; as fórmulas mudam. Na Poisson, $k=0,1,2,\ldots$ e $\lambda>0$. Na exponencial, $\lambda>0$; na uniforme, $a<b$.

Reconhece a unidade de $\lambda$: contagem esperada na Poisson, taxa por unidade de tempo na exponencial. Com média de três pedidos por minuto, a Poisson dá $P(X=0)=e^{-3}\approx0,0498$. Com espera média de dez minutos, a exponencial tem taxa 0,1 por minuto e $P(X>20)=e^{-2}\approx0,1353$.

Com sucesso de probabilidade 0,25, a geométrica dá $P(X=3)=0,75^2(0,25)=0,140625$; para o segundo sucesso ocorrer na terceira tentativa, a binomial negativa dá $\binom21(0,25)^2(0,75)=0,09375$. Uma uniforme entre 2 e 6 dá $P(3<X<5)=2/4=0,5$, e a escolha de duas aprovadas em três peças de um lote finito é a hipergeométrica do exemplo de contagem.

Avaliar normalidade

Um histograma aproximadamente simétrico e uma caixa sem forte assimetria são indícios, não provas. Num gráfico QQ normal, o eixo horizontal contém quantis normais teóricos e o vertical contém dados ordenados. Uma relação aproximadamente reta apoia a plausibilidade da normalidade. Curvatura sistemática ou pontos extremos afastados da reta levantam dúvidas.

Pequenas amostras podem produzir irregularidades mesmo sendo normais; a figura isola o efeito da forma da distribuição comparando quantis populacionais, sem ruído amostral. Na exponencial, os quantis superiores afastam-se progressivamente da reta, por isso num QQ amostral procuramos esse padrão sem exigir alinhamento perfeito.

Uma transformação logarítmica pode reduzir assimetria à direita em dados positivos, mas a média dos logaritmos não é o logaritmo da média.