Testes de hipóteses

Hipóteses e estatística

• $H_0$ e $H_1$ referem-se ao parâmetro populacional. Para $H_0:\mu=\mu_0$, escolhe antes dos dados $H_1:\mu\ne\mu_0$, $\mu>\mu_0$ ou $\mu<\mu_0$. Numa nula unilateral composta, a calibração habitual usa a fronteira $\mu_0$.

Para observações i.i.d. normais, sob a nula:

$$Z_0=\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}\sim N(0,1)\quad(\sigma\text{ conhecido}),$$ $$T_0=\frac{\bar X-\mu_0}{S/\sqrt n}\sim t_{n-1}\quad(\sigma\text{ desconhecido}).$$

• Uma população não normal com amostra grande pode permitir aproximação normal. Pequenas amostras exigem a normalidade adequada e atenção a extremos. O sinal da estatística indica a direção da diferença.

Valor-p e decisão

• O valor-p é a probabilidade, sob $H_0$, de resultados pelo menos tão extremos como o observado no sentido da alternativa.
• Os quantis $z_\alpha$ e $t_{\alpha,\nu}$ deixam área $\alpha$ à direita na normal padrão e na t com $\nu$ graus de liberdade, respetivamente. Para referência contínua simétrica de acumulada G e valor observado t:

Alternativa	Valor-p	Região crítica t
Bilateral	$2[1-G(\lvert t\rvert)]$	$\lvert t\rvert\ge t_{\alpha/2,\nu}$
À direita	$1-G(t)$	$t\ge t_{\alpha,\nu}$
À esquerda	$G(t)$	$t\le-t_{\alpha,\nu}$

• Rejeita se $p\le\alpha$, com $\alpha$ previamente fixado. O valor-p não é a probabilidade de $H_0$ ser verdadeira ou de a decisão estar errada.

• Para $n=16$, $\bar x=98,5$, $s=2$ e $\mu_0=100$, sob normalidade, $t=-3$ com 15 graus. O valor-p bilateral é cerca de 0,0090; à esquerda, 0,0045; à direita, 0,9955. Uma diferença negativa não apoia um aumento.

• Com dados, modelo e alternativa fixos, mudar $\alpha$ não muda p. No teste t bilateral com graus fixos, p diminui quando $|t|$ aumenta, não quando t simplesmente aumenta. Passar de −3 para −1 aproxima da nula e aumenta p.

Conclusão e intervalo

• Não rejeitar significa evidência insuficiente, sem demonstrar igualdade. Uma amostra pouco precisa pode não detetar diferenças relevantes.
• Reporta estimativa, unidades e incerteza. Significância estatística não mede relevância prática nem demonstra causalidade.
• Num teste bilateral e IC compatível do mesmo modelo, rejeitar a $\alpha$ corresponde ao valor nulo fora do IC de $1-\alpha$. Não combines automaticamente um teste unilateral com um IC bilateral, nem métodos diferentes para proporções.

Resolução do teste e intervalo correspondente.