Inferência para proporções

Uma proporção: intervalos

• Em n ensaios Bernoulli independentes de probabilidade p constante, x sucessos dão $\hat p=x/n$. O quantil $z_\alpha$ satisfaz $P(Z>z_\alpha)=\alpha$ para $Z\sim N(0,1)$. Os intervalos seguintes são aproximados:

Método	Centro e margem bilateral
Wald	$\hat p\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\hat p(1-\hat p)/n}$
Mais quatro a 95%	$\tilde p=(x+2)/(n+4)$ e $\tilde p\pm1,96\sqrt{\tilde p(1-\tilde p)/(n+4)}$

• Wald requer contagens de sucessos e insucessos suficientemente grandes; é frágil perto de 0 ou 1, e zero sucessos não prova p igual a zero, apesar do intervalo Wald de largura zero.
• Mais quatro acrescenta dois sucessos e dois insucessos para cálculo. Usa centro e erro padrão ajustados, sem misturar métodos.
• Para outras confianças, Agresti–Coull geral usa $\tilde n=n+z_{\alpha/2}^2$ e $\tilde p=(x+z_{\alpha/2}^2/2)/\tilde n$. Wilson é outro método.
• Restringe limites ao domínio $[0,1]$; o corte não torna o método exato.

• Num limite unilateral de confiança $1-\alpha$, usa $z_\alpha$, não $z_{\alpha/2}$. Wald dá limite superior $U=\hat p+z_\alpha SE$, formando $[0;U]$, ou inferior $L=\hat p-z_\alpha SE$, formando $[L;1]$. Escolhe a direção antes dos dados.

Planear a margem

Com margem máxima $\varepsilon$ e proporção de planeamento $p_*$:

$$n_{\text{Wald}}\ge\frac{z_{\alpha/2}^2p_*(1-p_*)}{\varepsilon^2},\qquad n_{\text{mais quatro}}\ge\frac{1,96^2p_*(1-p_*)}{\varepsilon^2}-4.$$

• Sem estimativa prévia, usa $p_*=0,5$, que maximiza $p(1-p)$; arredonda n para cima. Para margem 0,05 a 95%, obténs 385 em Wald ou 381 em mais quatro. Reduzir a margem a metade quadruplica n+4 no segundo método.

Testar uma proporção

Sob $H_0:p=p_0$, verifica $np_0\ge10$ e $n(1-p_0)\ge10$:

$$Z_0=\frac{\hat p-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}\approx N(0,1)\quad\text{sob }H_0.$$

• O denominador usa $p_0$, não a estimativa observada ou ajustada. Escolhe a cauda segundo $H_1$; se a aproximação falhar, considera um teste binomial exato.

Duas proporções independentes

• Para estimar $p_1-p_2$, Wald usa as proporções separadas e

$$SE=\sqrt{\frac{\hat p_1(1-\hat p_1)}{n_1}+\frac{\hat p_2(1-\hat p_2)}{n_2}}.$$

No ajustamento a 95%, usa mais dois por grupo, um sucesso e um insucesso:

$$\tilde p_i=\frac{x_i+1}{n_i+2},\quad IC\approx(\tilde p_1-\tilde p_2)\pm1,96\sqrt{\frac{\tilde p_1(1-\tilde p_1)}{n_1+2}+\frac{\tilde p_2(1-\tilde p_2)}{n_2+2}}.$$

• O domínio da diferença é $[-1,1]$. Estes intervalos exigem aproximação adequada, sem garantia de cobertura exata.

Para testar igualdade, a nula impõe uma proporção comum:

$$\bar p=\frac{x_1+x_2}{n_1+n_2},\qquad z=\frac{\hat p_1-\hat p_2}{\sqrt{\bar p(1-\bar p)(1/n_1+1/n_2)}}.$$

• Verifica contagens esperadas grandes em cada grupo. A fórmula não testa diretamente uma diferença nula diferente de zero. Dados binários antes/depois nas mesmas unidades precisam de um método emparelhado.

Exemplos de intervalos e testes de duas proporções.