Variáveis aleatórias

Probabilidade, acumulada e densidade

• Uma variável aleatória X associa um número a cada resultado do espaço amostral.

Modelo	Probabilidades
Discreto	$f_X(x)=P(X=x)\ge0$, com $\sum_x f_X(x)=1$; soma os valores pretendidos.
Contínuo com densidade	$f_X\ge0$, com integral total 1; $P(a<X<b)=\int_a^b f_X(x)dx$. Cada ponto tem probabilidade zero, mas a densidade pode exceder 1.

• A acumulada $F_X(x)=P(X\le x)$ é não decrescente e contínua à direita, com limites 0 e 1 nos extremos.

$$P(a<X\le b)=F_X(b)-F_X(a),\qquad P(a\le X\le b)=F_X(b)-F_X(a^-).$$

• Um salto da acumulada em x vale $P(X=x)$. Num modelo discreto, incluir uma fronteira pode mudar a resposta; com densidade, pontos isolados não alteram a área.

• Se X toma $-1,0,2$ com probabilidades $0,2;0,5;0,3$:

Pergunta	Valor
$P(X<0)=F_X(0^-)$	$0,2$
$P(X\le0)=F_X(0)$	$0,7$
$P(X=0)=F_X(0)-F_X(0^-)$	$0,5$

• Para $f_X(x)=cx$ em $0<x<2$ e zero fora, $\int_0^2cx\,dx=1$ dá $c=1/2$. No interior, $F_X(x)=x^2/4$ e a mediana é $\sqrt2$, não o ponto médio do suporte.

Momentos e transformações

$$E(X)=\sum_x xf_X(x)\quad\text{ou}\quad\int_{-\infty}^{\infty}xf_X(x)dx.$$

• Uma média finita requer $E(|X|)<\infty$. Para $E(g(X))$, substitui x por $g(x)$ na soma ou integral; em geral, não obténs $g(E(X))$.
• Com segundo momento finito:

$$\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2,\qquad \sigma_X=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}.$$

• Para $Y=aX+b$:

$$E(Y)=aE(X)+b,\quad \operatorname{Var}(Y)=a^2\operatorname{Var}(X),\quad \sigma_Y=|a|\sigma_X.$$

• Se X toma $-1,0,2$ com probabilidades $0,2;0,5;0,3$, então $E(X)=0,4$, $E(X^2)=1,4$ e $\operatorname{Var}(X)=1,24$. Para $Y=X^2$, a média é 1,4, não $0,4^2$.

Construção da acumulada discreta.