Erros e potência de um teste

Erros e potência

Realidade	Rejeitar $H_0$	Não rejeitar $H_0$
$H_0$ verdadeira	Erro de tipo I	Decisão correta
Alternativa verdadeira	Decisão correta	Erro de tipo II

• $\alpha$ controla a probabilidade de rejeitar uma nula verdadeira. Numa nula composta, é um limite superior dentro da nula.
• $\beta(\theta_1)$ é a probabilidade de não rejeitar numa alternativa concreta $\theta_1$; a potência é $1-\beta(\theta_1)$.
• São probabilidades do procedimento repetido, não da decisão já observada. O valor-p não fornece diretamente $\beta$.

Região fixa, distribuição alternativa

Num teste normal à direita, com $\sigma$ conhecido e $e=\sigma/\sqrt n$, rejeita quando

$$\bar X>c=\mu_0+z_\alpha e.$$

• Conserva c para calcular a probabilidade noutra média, usando a acumulada normal padrão $\Phi(z)=P(Z\le z)$:

$$\beta(\mu_1)=\Phi\left(\frac{c-\mu_1}{e}\right),\qquad\text{potência}=1-\beta(\mu_1).$$

• Com $\mu_0=100$, $\sigma=8$, $n=64$ e $\alpha=0,05$, $e=1$ e $c=101,6449$. Em $\mu_1=102$, $\beta\approx0,3612$ e potência $0,6388$.

Para um teste bilateral com região de não rejeição $[L,U]$:

$$\beta(\mu_1)=\Phi\left(\frac{U-\mu_1}{e}\right)-\Phi\left(\frac{L-\mu_1}{e}\right).$$

• Usa os dois limites. A potência é a área alternativa fora da região de não rejeição.

Dimensão da amostra

• Mais dados ou um efeito real maior aumentam a potência, mantendo o resto. Reduzir $\alpha$ geralmente diminui-a. Ao aumentar n com $\alpha$ fixo, recalcula c: manter o limite antigo muda o nível do teste.

Para planear um teste normal à direita, com $\Delta=\mu_1-\mu_0>0$, desvio conhecido e potência desejada $1-\beta$:

$$n\ge\left(\frac{\sigma(z_\alpha+z_\beta)}{\Delta}\right)^2.$$

• Os quantis são de cauda direita; arredonda n para cima. Para $\sigma=8$, $\Delta=2$, $\alpha=0,05$ e potência 80%, a conta dá $98,92$, logo 99. O planeamento vale para esse efeito e modelo.

Comparação unilateral e bilateral.