Distribuições e tabelas

Bernoulli e binomial

• Bernoulli vale 1 com probabilidade p e 0 com probabilidade $1-p$; média p e variância $p(1-p)$.
• $X\sim B(n,p)$ conta sucessos em n tentativas fixas, independentes, com dois resultados e p constante:

$$P(X=k)=\binom nkp^k(1-p)^{n-k},\quad k=0,\ldots,n;\qquad E(X)=np,\quad\operatorname{Var}(X)=np(1-p).$$

• Para a acumulada $F(k)=P(X\le k)$ e limites inteiros:

$$P(X=k)=F(k)-F(k-1),\quad P(X\ge k)=1-F(k-1),\quad P(a\le X\le b)=F(b)-F(a-1).$$

• Se a tabela não tem a coluna p, usa $n-X\sim B(n,1-p)$. Para $X\sim B(12;0,8)$, $X\ge9$ equivale a $12-X\le3$.

Normal e quantis críticos

Para $X\sim N(\mu,\sigma^2)$, com $\sigma>0$, o segundo parâmetro é a variância:

$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1),\qquad \Phi(z)=P(Z\le z),\qquad \Phi(-z)=1-\Phi(z).$$

• Probabilidades de intervalos são diferenças de acumuladas. Se $X\sim N(100,16)$, $P(X>106)=1-\Phi(1,5)\approx0,0668$.
• O quantil $z_\alpha$ deixa área $\alpha$ à direita. $z_{0,05}\approx1,6449$ e $z_{0,025}\approx1,96$. O percentil $1-\alpha$ de X é $\mu+\sigma z_\alpha$.
• Na população normal, $\mu\pm\sigma$, $\mu\pm2\sigma$ e $\mu\pm3\sigma$ contêm cerca de 68%, 95% e 99,7% dos valores. Não são IC para a média.
• Combinações lineares de normais independentes são normais. Soma as variâncias antes de calcular o desvio.

t, qui-quadrado e F

Com as variáveis da construção independentes:

Distribuição	Construção e uso
$\chi^2_\nu$	Soma de quadrados de $\nu$ normais padrão. Média $\nu$, variância $2\nu$; não negativa.
$t_\nu$	$Z/\sqrt{U/\nu}$, com $Z\sim N(0,1)$ e $U\sim\chi^2_\nu$. Simétrica, com caudas mais pesadas; na inferência para uma média normal de desvio desconhecido, $\nu=n-1$.
$F_{\nu_1,\nu_2}$	$(U/\nu_1)/(V/\nu_2)$ para qui-quadrados independentes. Tem dois graus de liberdade; inverter o quociente troca-os.

Os quantis críticos t e qui-quadrado também usam a cauda direita; a 95% bilateral, t com cinco graus usa $t_{0,025;5}\approx2,5706$.

Reconhecer outros mecanismos

Modelo	Variável e hipóteses
Hipergeométrica	Sucessos em n escolhas sem reposição de N unidades, K sucessos; $P(X=k)=\binom Kk\binom{N-K}{n-k}/\binom Nn$.
Poisson	Contagem num intervalo sob taxa constante e ocorrências independentes; $P(X=k)=e^{-\lambda}\lambda^k/k!$, média e variância $\lambda>0$.
Geométrica	Tentativas até ao primeiro sucesso, incluindo-o; $P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$, $k\ge1$.
Binomial negativa	Tentativas até ao r-ésimo sucesso, incluindo-o; $P(X=k)=\binom{k-1}{r-1}p^r(1-p)^{k-r}$, $k\ge r$.
Uniforme	Densidade $1/(b-a)$ em $[a,b]$, com $a<b$; probabilidades proporcionais aos comprimentos.
Exponencial	Espera num processo de Poisson; taxa $\lambda>0$, $P(X>t)=e^{-\lambda t}$ para $t\ge0$, média $1/\lambda$.

• Geométrica e binomial negativa exigem ensaios Bernoulli independentes com $0<p<1$ constante e r inteiro positivo. Na hipergeométrica, $0\le K,n\le N$ são inteiros e $\max(0,n-N+K)\le k\le\min(n,K)$.

Momentos e convenções destes modelos.

Avaliar normalidade

• Num QQ normal, dados ordenados aproximadamente alinhados com quantis normais teóricos apoiam normalidade. Curvatura sistemática e extremos levantam dúvidas; uma amostra pequena irregular não a refuta automaticamente.
• Simetria, média próxima da mediana ou um histograma não a provam.

• Um logaritmo pode reduzir assimetria em dados positivos, mas $E(\log X)$ não é $\log E(X)$.