Cheat sheet

Desenho: o que cada operação autoriza

Operação	Autoriza	Não autoriza
Seleção aleatória	Generalizar para a população	Comparação causal
Atribuição aleatória	Comparação causal entre condições	Generalização automática
Estratificar (recolha)	Estimar com pesos populacionais: $\sum w_h\bar x_h$	Dispensar a ponderação
Bloquear (experiência)	Reduzir variação de fatores conhecidos	Tratar blocos como réplicas independentes
Emparelhar	Analisar diferenças $D_i=X_i-Y_i$	Tratar $2n$ medições como independentes

Detalhe do desenho: amostra maior não corrige seleção voluntária. Independência exigida entre pares, não dentro do par.

Descritiva: resumos e condições

Tarefa	Relação	Condição e erro
Centro	$\bar x=\sum x_i/n$; mediana divide ao meio; moda é máximo de frequência	Média sensível a extremos; centros de classes dão aproximação
Quantil tipo 2, $0<p<1$	$np$ inteiro: $(x_{(np)}+x_{(np+1)})/2$; senão: $x_{(\lfloor np\rfloor+1)}$	Confirmar a convenção do programa
Dispersão	$s^2=(\sum x_i^2-n\bar x^2)/(n-1)$, $n\ge2$; $AIQ=Q_3-Q_1$	$s$ tem a unidade dos dados; $s^2$ tem a unidade ao quadrado
Transformação $Y=aX+b$	$\bar y=a\bar x+b$; $s_Y=\|a\|s_X$	Desvio nunca negativo; $b$ não entra na dispersão
Histograma	Altura $=f_j/h_j$; área $=$ frequência	Larguras diferentes: comparar áreas, não alturas
Caixa modificada	Barreiras $Q_1-1,5AIQ$, $Q_3+1,5AIQ$	Bigodes nas observações dentro das barreiras; assinalar fora sem apagar

Explicações · Bivariados: $s_{xy}=\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)/(n-1)$, $r=s_{xy}/(s_Xs_Y)$. Correlação mede associação linear; conserva os pares. $r=0$ não exclui relação curva.

Probabilidade e variáveis

Tarefa	Relação	Condição e erro
União	$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$	Subtrair a interseção contada duas vezes
Condicionada	$P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)$	Exige $P(B)>0$; $P(A\mid B)\ne P(B\mid A)$ em geral
Independência	$P(A\cap B)=P(A)P(B)$	Incompatibilidade com $P>0$ não é independência
Partição e Bayes	$P(A)=\sum_iP(B_i)P(A\mid B_i)$; $P(B_j\mid A)=P(B_j)P(A\mid B_j)/P(A)$	Partição disjunta, exaustiva, $P(B_i)>0$; $P(A)>0$
Acumulada	$F(x)=P(X\le x)$; $P(a<X\le b)=F(b)-F(a)$	Salto em $x$ vale $P(X=x)$; discreta: fronteiras importam
Densidade	$\int f_X=1$; probabilidades são áreas; $P(X=x)=0$	Altura pode exceder 1; área total é 1
Momentos	$V(X)=E(X^2)-E(X)^2$; $E(aX+b)=aE(X)+b$; $V(aX+b)=a^2V(X)$	Em geral $E(g(X))\ne g(E(X))$
Conjunta	Marginais por soma ou integral	Condicional é razão de densidades, não divisão por $P(X=x)=0$
Covariância	$\operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$	Independência implica covariância nula; o inverso falha
Combinações	$V(aX+bY)=a^2V(X)+b^2V(Y)+2ab\operatorname{Cov}$	Variâncias somam-se na soma e na diferença

Probabilidades · Variáveis · Conjuntas

Modelos: reconhecer pelas hipóteses

Modelo	Hipóteses	Momentos e leitura
Binomial $B(n,p)$	n fixo, dois resultados, independência, p constante	$P(X=k)=\binom nkp^k(1-p)^{n-k}$; média $np$, variância $np(1-p)$; $P(X\ge k)=1-F(k-1)$
Normal $N(\mu,\sigma^2)$	$\sigma>0$ é desvio; segundo parâmetro é variância	$Z=(X-\mu)/\sigma$; $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$; $\mu\pm k\sigma$ descreve a população, não IC
$t_\nu$, $\chi^2_\nu$, $F$	Construções com normais padrão independentes	Quantis críticos de cauda direita; $z_{0,05}=1,6449$, $z_{0,025}=1,9600$, $z_{0,005}=2,5758$
Hipergeométrica	n escolhas sem reposição de N com K sucessos	$P(X=k)=\binom Kk\binom{N-K}{\,n-k\,}/\binom Nn$
Poisson / Exponencial	Taxa $\lambda>0$ constante, ocorrências independentes	Poisson: média e variância $\lambda$; espera: $P(X>t)=e^{-\lambda t}$, média $1/\lambda$

Distribuições e tabelas: trocar sucessos por insucessos lê colunas $p$ indisponíveis ($n-X\sim B(n,1-p)$).

Amostragem: distribuição da estatística

Estatística	Distribuição	Condição e erro
$\bar X$	$E(\bar X)=\mu$, $V(\bar X)=\sigma^2/n$, $SE=\sigma/\sqrt n$	População normal: exato para qualquer n; senão: TLC com i.i.d., momentos finitos, n adequado
$\widehat P=X/n$	Média $p$, variância $p(1-p)/n$	Ajustada $\widetilde P=(X+2)/(n+4)$: centro e variância próprios; não misturar
Binomial → normal	$Y\sim N(np,np(1-p))$	Critério $n>25$, $\min(np,n(1-p))>5$; correção: $X\le k\to Y<k+0,5$; $X\ge k\to Y>k-0,5$; $X=k\to$ faixa de largura 1

Amostragem e limite central: $s/\sqrt n$ estima dispersão de médias; $s$ mede dispersão de dados.

Intervalos: estimativa ± quantil × erro padrão

A confiança cobre o parâmetro nessa proporção de repetições, sob o modelo. Parâmetro fixo, limites aleatórios. Não é percentagem de observações.

Alvo	Intervalo	Quantil e erro padrão
Uma média, normal, $\sigma$ conhecido	$\bar x\pm c\cdot SE$	$z_{\alpha/2}$, $\sigma/\sqrt n$; exato
Uma média, normal, $\sigma$ desconhecido	$\bar x\pm c\cdot SE$	$t_{\alpha/2,n-1}$, $s/\sqrt n$; exato, incluindo n grande
Uma média, não normal, n grande	$\bar x\pm c\cdot SE$	z aproximado, $s/\sqrt n$ (ou $\sigma/\sqrt n$)
Diferença, grupos independentes	$(\bar x_1-\bar x_2)\pm c\cdot SE$	Welch: $SE=\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}$, graus calculados
Diferença, variância comum justificada	$(\bar x_1-\bar x_2)\pm c\cdot SE_p$	$s_p^2=((n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2)/(n_1+n_2-2)$; graus $n_1+n_2-2$
Diferença emparelhada	$\bar d\pm c\cdot s_D/\sqrt n$	$t_{\alpha/2,n-1}$; normalidade das diferenças, independência entre pares
Proporção, mais quatro a 95%	$\tilde p\pm1,96\sqrt{\tilde p(1-\tilde p)/(n+4)}$	$\tilde p=(x+2)/(n+4)$; não misturar centro de um método com erro de outro
Proporção, Wald	$\hat p\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\hat p(1-\hat p)/n}$	Contagens adequadas; frágil perto de 0 ou 1; zero sucessos dá largura zero
Diferença de proporções a 95%	$(\tilde p_1-\tilde p_2)\pm1,96\cdot SE$	Mais dois por grupo: $\tilde p_i=(x_i+1)/(n_i+2)$
Unilateral	$[L;1]$ ou $[0;U]$ com $z_\alpha$ (ou $t_{\alpha}$)	Uma só cauda usa $\alpha$; cortar a $[0,1]$; escolher o sentido antes dos dados

Uma média · Duas médias · Proporções

Margem $\varepsilon$ para média: $n\ge(z_{\alpha/2}\sigma/\varepsilon)^2$, arredondar para cima. Margem não é erro padrão. Com t no planeamento, iterar porque o quantil depende de n. Mais quatro a 95%: $n\ge1,96^2p_*(1-p_*)/\varepsilon^2-4$; sem estimativa, $p_*=0,5$.

Testes: estatística, valor-p e decisão

Alternativa	Valor-p (referência contínua simétrica G)	Região crítica t
Bilateral	$2[1-G(\lvert t\rvert)]$	$\lvert t\rvert\ge t_{\alpha/2,\nu}$
À direita	$1-G(t)$	$t\ge t_{\alpha,\nu}$
À esquerda	$G(t)$	$t\le-t_{\alpha,\nu}$

Estatística $=$ (estimativa − valor nulo)$/$SE. Rejeitar se valor-p $\le\alpha$, com $\alpha$ fixado antes. Não rejeitar não prova igualdade; valor-p não é $P(H_0\mid\text{dados})$.

Teste	Estatística sob a nula	Condição e erro
Uma proporção	$z=(\hat p-p_0)/\sqrt{p_0(1-p_0)/n}$	$np_0,n(1-p_0)\ge10$; denominador usa $p_0$
Igualdade de proporções	$z=(\hat p_1-\hat p_2)/\sqrt{\bar p(1-\bar p)(1/n_1+1/n_2)}$	$\bar p=(x_1+x_2)/(n_1+n_2)$; só testa $\delta_0=0$
Teste t de uma média	$t=(\bar x-\mu_0)/(s/\sqrt n)$	População normal (ou n grande); teste compatível com o IC bilateral
Welch / variância comum / pares	$(\bar x_1-\bar x_2-\delta_0)/SE$; pares: $(\bar d-\delta_0)/(s_D/\sqrt n)$	Escolher o modelo antes da cauda

Testes · Erros e potência: tipo I rejeita nula verdadeira ($\alpha$); tipo II não rejeita numa alternativa concreta ($\beta$); potência $1-\beta$. Calcular $\beta$ na região de não rejeição com a distribuição da alternativa. Sem alternativa concreta não há potência única.

Aleatorização: respeitar desenho e permutabilidade (distribuições iguais, não só médias iguais). Contar atribuições pelo menos tão extremas, incluindo empates e a observada. Pares: trocar só dentro de cada par. Simulação: $(b+1)/(B+1)$; zero extremos simulados não é $p=0$.

Qui-quadrado: contagens contra esperadas

Pergunta	$H_0$ e esperadas	Graus
Ajustamento	Probabilidades fixas $p_i$; $E_i=np_i$	$k-1$ (menos $r$ se $r$ parâmetros estimados)
Independência (uma amostra, duas variáveis)	$E_{ij}=O_{i\cdot}O_{\cdot j}/n$	$(r-1)(c-1)$
Homogeneidade (grupos distintos, uma variável)	$E_{ij}=O_{i\cdot}O_{\cdot j}/n$	$(r-1)(c-1)$

$Q=\sum(O-E)^2/E$, cauda direita. Unidades independentes, contadas uma vez, categorias exclusivas e exaustivas. Critério: $E\ge5$ em todas as células (não $O\ge5$). Usar contagens, não percentagens. Sem correção, $Q=z^2$ do teste bilateral correspondente; com direção, usar o teste z. Rejeição global não identifica pares; reportar a dimensão observada.

Qui-quadrado · Medianas de Mood: mesma mediana global como limiar, regra de empates explícita; testa medianas, não médias, sem estimar a distância.