Comparar duas médias

Grupos independentes e Welch

• O alvo $\delta=\mu_1-\mu_2$ é estimado por $\bar x_1-\bar x_2$. Fixa essa ordem para interpretar o sinal.
• Os quantis $z_\alpha$ e $t_{\alpha,\nu}$ deixam área $\alpha$ à direita na normal padrão e na t com $\nu$ graus de liberdade, respetivamente.

Primeiro decide o desenho: pares usam diferenças; grupos independentes de desvios desconhecidos usam Welch, ou variância comum quando justificada. Tamanhos iguais não criam pares nem justificam variâncias iguais.

• Com amostras independentes, populações normais e desvios conhecidos, usa $SE=\sqrt{\sigma_1^2/n_1+\sigma_2^2/n_2}$ e IC $(\bar x_1-\bar x_2)\pm z_{\alpha/2}SE$.
• Com populações não normais, ambas as amostras grandes podem justificar aproximação normal. As variâncias somam-se mesmo na diferença de médias.

Para desvios desconhecidos, Welch não exige variâncias iguais:

$$\widehat{SE}=\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}},\qquad IC\approx(\bar x_1-\bar x_2)\pm t_{\alpha/2,\nu}\widehat{SE},$$ $$\nu\approx\frac{(s_1^2/n_1+s_2^2/n_2)^2}{(s_1^2/n_1)^2/(n_1-1)+(s_2^2/n_2)^2/(n_2-1)}.$$

• Para pequenas amostras, pressupõe normalidade aproximada e examina extremos. Se a tabela só aceita graus inteiros, usar um grau inferior dá um quantil mais conservador.

Variância comum

• Só com justificação para $\sigma_1^2=\sigma_2^2$:

$$s_p^2=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2},\qquad\widehat{SE}_p=s_p\sqrt{1/n_1+1/n_2}.$$

• Sob normalidade, o IC usa $t_{\alpha/2,n_1+n_2-2}$. Esses graus são do método com variância comum, não a fórmula geral de Welch. Não faças a média simples dos desvios.

Emparelhamento

Para n pares, calcula $D_i=X_i-Y_i$ e usa

$$IC(\mu_D)=\bar d\pm t_{\alpha/2,n-1}\frac{s_D}{\sqrt n}.$$

• A independência é entre pares; a normalidade do intervalo t exato é a das diferenças. Não substituas $s_D$ pelos desvios das duas colunas, pois a covariância dentro do par importa.

• Com diferenças $2,1,3,2,4,0$ ms, $\bar d=2$, $s_D^2=2$ e $SE=\sqrt{2/6}$. O IC de 95% é $[0,5159;3,4841]$ ms: a primeira média é maior nas condições do estudo.

Testar uma diferença

• Para $H_0:\delta=\delta_0$, divide a diferença estimada menos $\delta_0$ pelo erro padrão escolhido. Usa a distribuição e os graus desse modelo, com a cauda definida por $H_1$. No caso emparelhado, a estatística é $(\bar d-\delta_0)/(s_D/\sqrt n)$.

Exemplo de Welch e interpretação do intervalo.