Dados bivariados

Proporções condicionais e pares

• Uma tabela de dupla entrada conta combinações de categorias; os totais de linhas e colunas são frequências marginais.
• Para comparar grupos, divide pelo total do grupo: doze falhas em 60 unidades dão 20%, e dezoito em 40 dão 45%. Dividir 12 por 100 responde à pergunta conjunta «pertence a A e falhou».
• Com uma variável quantitativa e uma categórica, compara caixas na mesma escala. A sobreposição das caixas não demonstra igualdade de médias.
• Duas medições da mesma unidade formam um par. Conserva os pares e examina as diferenças; ordenar as colunas separadamente altera a relação observada.

Covariância e correlação

Para $n\ge2$ pares $(x_i,y_i)$:

$$s_{xy}=\frac{\sum_i x_i y_i-n\bar x\bar y}{n-1},\qquad r=\frac{s_{xy}}{s_Xs_Y}.$$

• A covariância mede o sentido conjunto dos desvios às médias. A sua unidade é o produto das unidades e depende da escala.
• Pearson exige $s_X,s_Y>0$ e satisfaz $-1\le r\le1$. Valores $\pm1$ indicam uma relação linear perfeita; perto de zero significa pouca associação linear.
• Somar constantes não altera covariância nem correlação. Multiplicar uma coluna por um fator positivo altera a covariância, mas conserva $r$; um fator negativo troca o sinal de $r$.
• Correlação não demonstra causalidade. Examina a forma, grupos e extremos no diagrama antes de usar o coeficiente.

Nos pares $(1,2),(2,4),(3,5),(4,9)$, $s_{xy}=11/3$ e $r=11/\sqrt{130}\approx0,9648$. Já $y=x^2$ para $x=-2,-1,0,1,2$ dá $r=0$, embora Y seja determinado por X.

Cálculo pelos desvios centrados.