Intervalos de confiança para uma média

Confiança e escolha do modelo

• Um procedimento de confiança $1-\alpha$ cobre o parâmetro fixo nessa proporção de repetições, sob o modelo. Os intervalos variam.
• Um IC de 95% para a média não contém necessariamente 95% dos dados, nem atribui probabilidade de 95% ao parâmetro após observar o intervalo.

Os quantis $z_\alpha$ e $t_{\alpha,\nu}$ deixam área $\alpha$ à direita na normal padrão e na t com $\nu$ graus de liberdade, respetivamente. Para observações i.i.d., usa o intervalo bilateral $\bar x\pm c\,SE$:

Condições	Quantil c e erro padrão
População normal, $\sigma$ conhecido	$z_{\alpha/2}$ e $\sigma/\sqrt n$; exato.
População normal, $\sigma$ desconhecido	$t_{\alpha/2,n-1}$ e $s/\sqrt n$; exato, incluindo n grande.
População não normal, n grande e TLC adequado	$z_{\alpha/2}$ e $s/\sqrt n$, ou $\sigma/\sqrt n$ se conhecido; aproximado.

• Examina assimetria e extremos; cinco dados não normais não justificam a aproximação. Um desvio de estudos anteriores pode ser uma estimativa, não $\sigma$ conhecido.
• Com normalidade, $\sigma=8$ mm, $n=64$ e $\bar x=102$ mm, o IC de 95% é $102\pm1,96(1)=[100,04;103,96]$ mm. Maior confiança alarga o intervalo com os mesmos dados.

Margem e dimensão da amostra

Para desvio conhecido e margem máxima $\varepsilon$:

$$\varepsilon=z_{\alpha/2}\frac\sigma{\sqrt n},\qquad n\ge\left(\frac{z_{\alpha/2}\sigma}{\varepsilon}\right)^2.$$

• Arredonda n para cima: a 95%, $\sigma=8$ e margem 1,5 exigem $n\ge109,2722$, logo 110.
• Erro padrão não é margem: exigir apenas $\sigma/\sqrt n\le1,5$ daria 29.
• Reduzir a margem a metade exige quatro vezes n, mantendo confiança e variância. Com desvio desconhecido, o piloto serve para planeamento, sem garantir a margem final.
• Se o planeamento usa t, verifica $t_{\alpha/2,n-1}s/\sqrt n\le\varepsilon$, pois o quantil depende de n. Com s fixado em 3,5, margem 2 e confiança 95%, n=14 dá 2,0209 e n=15 dá 1,9382: o mínimo é 15 sob essa hipótese, não o 12 sugerido por z.
• Se pedirem arredondamento dos limites por excesso, baixa o inferior e sobe o superior. Não arredondes os passos intermédios.

Limites unilaterais

Com desvio conhecido, o limite inferior é $\bar x-z_\alpha\sigma/\sqrt n$, com extremo superior $+\infty$; o superior é $\bar x+z_\alpha\sigma/\sqrt n$, com extremo inferior $-\infty$.

Com desvio desconhecido e população normal, usa s e $t_{\alpha,n-1}$. Uma só cauda usa $\alpha$, não $\alpha/2$; escolhe o sentido antes de ver os dados.

Intervalo t a partir de medições brutas.