Amostragem e limite central

Estatística e erro padrão

• Antes da recolha, um estimador é aleatório; depois, a estimativa é o valor observado. A distribuição amostral descreve a variação da estatística entre amostras.

Para observações i.i.d. de média $\mu$ e variância finita $\sigma^2$:

$$E(\bar X)=\mu,\qquad\operatorname{Var}(\bar X)=\frac{\sigma^2}{n},\qquad SE(\bar X)=\frac{\sigma}{\sqrt n}.$$

• $\bar X$ é não enviesado. O desvio amostral s mede dispersão dos dados; $s/\sqrt n$ estima dispersão das médias. Quadruplicar n reduz o erro padrão a metade.

Normal exata e limite central

• Se as observações independentes são $N(\mu,\sigma^2)$, então $\bar X\sim N(\mu,\sigma^2/n)$ e $\sum_iX_i\sim N(n\mu,n\sigma^2)$ para qualquer n.
• Para observações i.i.d. com média finita e $0<\sigma^2<\infty$, o TLC dá

$$\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}\xrightarrow{d}N(0,1).$$

• O TLC aproxima a distribuição da média quando n cresce. Não torna os dados normais, nem elimina dependência ou corrige seleção enviesada. $n\ge30$ não garante qualidade perante assimetria extrema ou caudas pesadas.

• $\Phi(z)=P(Z\le z)$ é a acumulada da normal padrão. Com média populacional 50, desvio 14 e 49 observações i.i.d., o erro padrão é 2. Se a aproximação for adequada, $P(48<\bar X<54)\approx\Phi(2)-\Phi(-1)\approx0,8186$.

Proporções e aproximação binomial

Para $X\sim B(n,p)$, $\widehat P=X/n$ tem média p e variância $p(1-p)/n$. O ajustamento $\widetilde P=(X+2)/(n+4)$ tem

$$E(\widetilde P)=\frac{np+2}{n+4},\qquad\operatorname{Var}(\widetilde P)=\frac{np(1-p)}{(n+4)^2}.$$

• É enviesado em direção a 0,5, com enviesamento $(2-4p)/(n+4)$.

A aproximação $Y\sim N(np,np(1-p))$ usa o critério prático $n>25$ e $\min\{np,n(1-p)\}>5$. Aplica correção de continuidade:

Contagem inteira	Limites para Y
$X\le k$	$Y<k+0,5$
$X\ge k$	$Y>k-0,5$
$X=k$	$k-0,5<Y<k+0,5$
$a\le X\le b$	$a-0,5<Y<b+0,5$

• Converte primeiro a percentagem numa contagem inteira. Em 80 tentativas, «pelo menos 45%» é $X\ge36$, logo usa $Y>35,5$; noutros tamanhos, arredonda o mínimo para cima.

Distribuição da média com e sem reposição.