Cheat sheet

Confirma o domínio antes da técnica. $C$ é uma constante; $u,v$ são funções deriváveis quando aparecem em regras de cálculo.

Diferenciação

$$\begin{gathered} (uv)'=u'v+uv'\\ (u/v)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\ (v\ne0)\\ (f\circ u)'=f'(u)u'. \end{gathered}$$

Para $y=f(u)$ com $u$ duas vezes derivável e $f$ duas vezes derivável num intervalo que contém a imagem de $u$,

$$y''=f''(u)(u')^2+f'(u)u''.$$

$(\ln|u|)'=u'/u$ para $u\ne0$; $(\arctan u)'=u'/(1+u^2)$; $(\arcsin u)'=u'/\sqrt{1-u^2}$ para $|u|<1$. Para $u>0$, $(u^v)'=u^v(v'\ln u+vu'/u)$; consulta as regras de derivação.

Teorema	Hipóteses essenciais	Conclusão
Rolle	$a<b$, contínua em $[a,b]$, derivável dentro, $f(a)=f(b)$	Algum $c\in]a,b[$ com $f'(c)=0$
Lagrange	Mesma regularidade	$f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)$ para algum $c$ interior
L’Hôpital	$0/0$ ou $\infty/\infty$, $f$ e $g$ deriváveis perto do ponto (exceto talvez nele), $g'\ne0$ perto, $\lim f'/g'$ existe (finito ou infinito)	$\lim f/g=\lim f'/g'$; verifica em cada repetição

Sem limite de $f'/g'$, a regra não decide. Deriva numerador e denominador em separado, nunca o quociente. Hipóteses.

Classificação	Regra com continuidade no candidato
Extremo local interior derivável	Exige $f'=0$; o recíproco falha ($x^3$)
Sinal de $f'$ $+\to-$ / $-\to+$	Máximo / mínimo local
Inflexão	Mudança de concavidade num ponto do gráfico
Absoluto em $[a,b]$	Compara candidatos e extremos

Estudo.

Taylor e séries

$$\begin{gathered} P_{n,a}=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\\ |R_{n,a}|\le\frac{M|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}, \end{gathered}$$

com $|f^{(n+1)}|\le M$ no segmento. A série representa $f$ só onde $R_{n,a}\to0$. Erro.

Padrão	Resultado ou condição
$\sum_{n=m}^{\infty}cr^n$	$cr^m/(1-r)$ se $\lvert r\rvert<1$
$\sum1/n^p$	Converge se e só se $p>1$
Razão $\lvert a_{n+1}/a_n\rvert\to L$ ou raiz $\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert}\to L$	$L<1$: absoluta; $L>1$: diverge; $L=1$: não decide. A razão exige $a_n\ne0$ eventualmente
Alternada $(-1)^nb_n$	Leibniz: $b_n\ge0$, decrescente e $b_n\to0$; erro $\le b_{N+1}$

$a_n\to0$ é necessário, mas insuficiente. Comparação direta ou por limite exige termos não negativos. Uma série de potências converge dentro do raio; estuda cada extremo à parte.

Estratégia: termo geral primeiro; depois razão constante, cancelamento, comparação com $p$, fatorial ou potência $n$; com sinais alternados, testa convergência absoluta antes de Leibniz. Critérios.

Integração

$$\begin{gathered} \int u' u^p dx=\frac{u^{p+1}}{p+1}+C\\ (p\ne-1)\\ \int\frac{u'}u dx=\ln|u|+C, \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \int u\,dv=uv-\int v\,du\\ \frac d{dx}\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt=f(v)v'-f(u)u', \end{gathered}$$

na última fórmula com $f$ contínua. Muda os limites numa substituição definida ou volta à variável original antes de avaliar. Técnicas.

Fração racional: divide se necessário e inclui todas as potências dos fatores repetidos. Seno/cosseno com potência ímpar: guarda um fator para substituir; ambos pares: lineariza. $t=\tan(x/2)$ racionaliza funções racionais de seno e cosseno. Escolha.

Simetria: $\int_0^a f(x)dx=\int_0^a f(a-x)dx$ para $f$ contínua e $a>0$. Uma identidade $\int_c^x f=G$ exige $f=G\prime$ e $G(c)=0$.

Geometria	Fórmula e condição de aplicação
Área entre curvas	$\int\|f-g\|$; divide onde a ordem das curvas muda
Secções de área $A(x)$	$V=\int A(x)dx$
Arandelas	$V=\pi\int(R^2-r^2)dx$, $R\ge r\ge0$, com raios medidos desde o eixo
Cascas sem sobreposição	$V=2\pi\int\rho H\,dx$; $\rho$ é a distância ao eixo
Faixa que contém o eixo	Disco cheio: $r=0$, $R$ é a maior distância às extremidades; divide onde muda
Polar, percurso único	$A=\frac12\int r^2d\theta$; confirma a curva exterior em cada intervalo

Geometria.

Impróprios e hiperbólicas

$$\begin{gathered} \int_1^{\infty}x^{-p}dx\text{ converge}\iff p>1\\ \int_0^1x^{-p}dx\text{ converge}\iff p<1. \end{gathered}$$

Separa singularidades interiores e as duas caudas. Todos os limites têm de ser finitos, sem cancelamento simétrico. Convergência.

$\cosh^2x-\sinh^2x=1$; $(\sinh)'=\cosh$, $(\cosh)'=\sinh$; $\int dx/\sqrt{1+x^2}=\operatorname{arsinh}x+C$. O sinal menos dá arco-seno. Hiperbólicas.

Equações diferenciais

Forma	Método e condição
$y'=f(x)g(y)$	Separa; testa zeros de $g$ antes de dividir
$y'=F(y/x)$	$v=y/x$, $y'=v+xv'$; $x\ne0$
$y'+Py=Q$	$\mu=e^{\int P}$; $(\mu y)'=\mu Q$
$y'+Py=Qy^n$	$v=y^{1-n}$; $n\ne0,1$; verifica soluções excluídas

Para $ay''+by'+cy=f$, com $a,b,c$ constantes e $a\ne0$, resolve $ar^2+br+c=0$ e soma uma particular.

Raízes reais / complexas	Solução homogénea
Reais distintas $r_1,r_2$	$C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$
Real dupla $r$	$(C_1+C_2x)e^{rx}$
$\alpha\pm i\beta$, $\beta>0$	$e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$

Em ressonância, multiplica o candidato por $x^m$, com $m$ igual à multiplicidade. Se conheces uma solução $y_1$, a redução $y=y_1u$ baixa a ordem. Variação dos parâmetros exige a forma normalizada com $g=f/a$. Segunda ordem.

Laplace e Fourier

$$\begin{gathered} \mathcal L\{t^n\}=\frac{n!}{s^{n+1}}\\ \mathcal L\{f'\}=sF-f(0)\\ \mathcal L\{f''\}=s^2F-sf(0)-f'(0). \end{gathered}$$

$\mathcal L\{e^{at}f\}=F(s-a)$; $\mathcal L\{u(t-a)f(t-a)\}=e^{-as}F(s)$; $\mathcal L\{f*g\}=FG$. Convolução não é produto ponto a ponto. Para inverter, decompõe em frações, completa quadrados e ajusta fatoriais ou frequências. Tabela e inversão.

Para período $2L$,

$$\begin{gathered} a_n=\frac1L\int_{-L}^Lf(x)\cos\frac{n\pi x}Ldx\\ b_n=\frac1L\int_{-L}^Lf(x)\sin\frac{n\pi x}Ldx. \end{gathered}$$

A série usa $a_0/2$, não $a_0$. Par anula senos; ímpar anula cossenos e constante. Com regularidade por partes, soma $[f(x^-)+f(x^+)]/2$, usando limites periódicos nos extremos. Meio intervalo exige escolher extensão. Fourier.