Testes do qui-quadrado

Estatística de Pearson

• Com frequências absolutas observadas O e esperadas E:

$$Q=\sum\frac{(O-E)^2}{E}.$$

• Valores grandes dão evidência contra a nula; a cauda é sempre à direita. As unidades devem ser independentes e contadas uma só vez, em categorias exclusivas e exaustivas. O critério prático aqui é $E\ge5$ em todas as células, não $O\ge5$.

Ajustamento

• $H_0$ fixa probabilidades $p_1,\ldots,p_k$ de soma 1. Calcula $E_i=np_i$ e compara Q com $\chi^2_{k-1}$. A alternativa diz que pelo menos uma probabilidade difere.
• Se r parâmetros forem estimados dos mesmos dados, em situações regulares os graus passam a $k-1-r$. Não há esse desconto quando as probabilidades estão fixadas previamente.
• Para probabilidades $0,5;0,3;0,2$ e contagens $60,25,15$, as esperadas são $50,30,20$ e $Q\approx4,0833$. Com dois graus e crítico 5,9915 a 5%, não rejeitamos; não fica demonstrado que o modelo seja exato.

Independência e homogeneidade

Recolha	Hipótese nula
Uma amostra, duas variáveis categóricas por unidade	Independência das variáveis.
Amostras de grupos distintos, uma variável categórica	Homogeneidade da distribuição entre grupos.

Para r linhas, c colunas e total n:

$$E_{ij}=\frac{O_{i\cdot}O_{\cdot j}}n,\qquad\nu=(r-1)(c-1).$$

• Os símbolos no numerador são os totais da linha i e da coluna j. As esperadas conservam os totais marginais, sem dividir n igualmente pelas células.

• Com grupos independentes de 50 e 40 unidades, tendo 40 e 20 sucessos, $Q=9$ com um grau e valor-p cerca de 0,00270. Rejeita-se igualdade; as proporções observadas são 0,8 e 0,5.

Limites da conclusão

• Medianas de Mood: calcula uma mediana global dos valores reunidos e constrói a tabela grupo × acima/abaixo desse mesmo limiar. Com amostras independentes, testa igualdade das medianas; não substitui um teste de médias. Define a regra para empates e a correção de continuidade. Para contagens $(12,28)$ em A e $(28,12)$ em B, as esperadas são 20 e $Q=12,8$, com um grau, sem correção. A categorização não estima a diferença de medianas.

• Se esperadas forem pequenas, considera agrupamento justificado ou método exato, recalculando os graus. Não agrupa para favorecer o valor-p.

• Rejeitar homogeneidade entre vários grupos não prova que todos os pares diferem. Comparações posteriores exigem controlo de multiplicidade.

• Sem correção de continuidade, numa tabela $2\times2$, $Q=z^2$ do teste de igualdade de duas proporções. A correspondência é bilateral: Q perde o sinal, pelo que não se divide o valor-p por dois sem considerar a alternativa e direção.

• Amostras maiores podem detetar diferenças muito pequenas. Reporta a dimensão observada, não apenas a significância.

Cálculo das esperadas da tabela.