Duas variáveis aleatórias

Conjunta, marginais e condicionais

A conjunta descreve o par na mesma unidade. No caso discreto, $f_{X,Y}(x,y)=P(X=x,Y=y)$, com probabilidades não negativas de soma 1.

$$f_X(x)=\sum_y f_{X,Y}(x,y),\qquad P(X=x\mid Y=y)=\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)},\quad f_Y(y)>0.$$

No caso contínuo, integra para obter marginais e probabilidades. A densidade condicional usa uma razão de densidades, não divisão por $P(X=x)$, que é zero:

$$f_X(x)=\int f_{X,Y}(x,y)dy,\qquad f_{Y\mid X=x}(y)=\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_X(x)},\quad f_X(x)>0.$$

Para densidade 2 em $0<y<x<1$, o suporte determina os limites:

$$f_X(x)=\int_0^x 2\,dy=2x,\qquad f_Y(y)=\int_y^1 2\,dx=2(1-y),\quad 0<x,y<1.$$

As marginais são zero fora desses intervalos. Dado $X=x$, Y é uniforme em $(0,x)$: para $x=0,6$, $P(Y<0,3\mid X=0,6)=1/2$.

Independência e covariância

• Independência exige $f_{X,Y}=f_Xf_Y$ em todos os pares discretos, ou quase em toda a parte para densidades. Uma falha refuta-a; um par correto não a prova.
• Com segundos momentos finitos, $\operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$ e $\rho=\operatorname{Cov}(X,Y)/(\sigma_X\sigma_Y)$ quando ambos os desvios são positivos.
• Independência implica covariância zero; o inverso é falso. Com X uniforme em $\{-1,0,1\}$ e $Y=X^2$, a covariância é zero, mas Y depende de X.

Combinações lineares

$$E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c,$$ $$\operatorname{Var}(aX+bY)=a^2\operatorname{Var}(X)+b^2\operatorname{Var}(Y)+2ab\operatorname{Cov}(X,Y).$$

A esperança não exige independência. Para independentes, as variâncias somam-se na soma e na diferença; os desvios não se somam. Com variâncias 4 e 9 e covariância 3, $\operatorname{Var}(X-Y)=4+9-6=7$.

Para observações i.i.d. de variância $\sigma^2$, $\operatorname{Var}(\sum_i a_iX_i)=\sigma^2\sum_i a_i^2$.

Integração de regiões e condicionais.