Equações de Maxwell

Fluxo, circulação e fontes

• Carga: $Q=\int_V\rho_VdV$, com $\rho_V$ em $\mathrm{C/m^3}$. Densidades superficial e linear medem-se em $\mathrm{C/m^2}$ e $\mathrm{C/m}$.
• Corrente: $I=\int_S\vec J\cdot d\vec A$, com $\vec J$ em $\mathrm{A/m^2}$.
• Fluxo: $\int_S\vec E\cdot d\vec A$; numa superfície fechada, a normal aponta para fora. Campo uniforme numa superfície plana dá $EA\cos\theta$, com ângulo entre campo e normal.
• Circulação: $\oint_C\vec E\cdot d\vec\ell$. Normal e contorno seguem a mão direita. Divergência mede fontes locais de fluxo; rotacional mede circulação local.

Maxwell no vazio

$$\begin{aligned} \nabla\cdot\vec E&=\rho_V/\varepsilon_0,& \nabla\cdot\vec B&=0,\\ \nabla\times\vec E&=-\partial_t\vec B,& \nabla\times\vec B&=\mu_0\vec J+\mu_0\varepsilon_0\partial_t\vec E. \end{aligned}$$

• Gauss elétrico: fluxo fechado $Q_{\rm int}/\varepsilon_0$.
• Gauss magnético: fluxo fechado zero, sem exigir $B=0$.
• Faraday: circulação elétrica igual a $-d\Phi_B/dt$.
• Ampère-Maxwell: circulação magnética igual a $\mu_0(I_S+\varepsilon_0d\Phi_E/dt)$.

Estas formas integrais usam superfícies e contornos fixos. Entre placas de um condensador no vazio, sem bordos, a corrente de deslocamento é $\varepsilon_0d\Phi_E/dt=dQ/dt=I$, mesmo sem passagem de portadores.

A conservação local da carga exige $\partial_t\rho_V+\nabla\cdot\vec J=0$. Um campo proposto tem de satisfazer as quatro equações com as suas fontes; verificar só uma não basta.

Usa a forma integral com superfícies e contornos para calcular fluxos e campos com simetria; usa a forma diferencial para testar se um campo proposto é possível e quais as fontes que ele exige.

Gauss com simetria

A lei vale sempre; retirar $E$ do integral exige simetria e distribuição uniforme.

Simetria	Relação	Hipótese
Esférica	$E(r)4\pi r^2=Q_{\rm int}(r)/\varepsilon_0$	carga com simetria esférica
Fio infinito e uniforme	$E(r)2\pi r\ell=\lambda_Q\ell/\varepsilon_0$	densidade linear uniforme
Plano infinito e uniforme	$2EA=\sigma_QA/\varepsilon_0$	densidade superficial uniforme

Para a placa infinita de densidade uniforme, $\vec E=E_z\hat e_z$:

$$E_z(z)=\begin{cases} \rho_Vz/\varepsilon_0,&|z|\le L,\\ (\rho_VL/\varepsilon_0)\operatorname{sgn}(z),&|z|>L. \end{cases}$$

Fora, a carga incluída deixa de crescer. Numa esfera isolante uniforme, $E=kQr/R^3$ no interior; numa esfera condutora em equilíbrio, $E=0$ no material.

Ver superfícies de Gauss.