Resposta em frequência e amostragem

Resposta em frequência

Num SLIT de estado nulo, $H(\omega)$ é a transformada de $h(t)$ e $Y=HX$. Uma sinusoide mantém a frequência: $|H|$ multiplica a amplitude e $\arg H$ acrescenta fase.

• Cascata: multiplica respostas; paralelo com soma: soma respostas.
• Realimentação negativa, $e=x-H_2y$ e $y=H_1e$: formalmente $H_{\rm eq}=H_1/(1+H_1H_2)$. Esta álgebra não prova estabilidade.

Para RC com saída no condensador e $\tau=RC$:

$$H=\frac1{1+j\omega\tau},\quad |H|=\frac1{\sqrt{1+(\omega\tau)^2}},\quad \arg H=-\arctan(\omega\tau).$$

O corte é $f_c=1/(2\pi RC)$, com ganho $1/\sqrt2$, cerca de $-3{,}01\,\mathrm{dB}$, e fase $-45^\circ$. Para ganho de tensão, usa $20\log_{10}|H|$; para razões de potência, $10\log_{10}$.

Com saída na resistência, $H=j\omega\tau/(1+j\omega\tau)$ é passa-alto. A saída em $R$ de um RLC série é passa-banda. Os terminais escolhidos determinam o filtro.

Amostragem e reconstrução

Para $T_s=1/f_s$ e $\omega_s=2\pi f_s$, as amostras são $x[n]=x(nT_s)$. A amostragem impulsional ideal repete o espectro:

$$x_s(t)=\sum_nx(nT_s)\delta(t-nT_s),\qquad X_s(\omega)=\frac1{T_s}\sum_kX(\omega-k\omega_s).$$

Se $X(\omega)=0$ para $|\omega|>2\pi B$, a condição suficiente sem ambiguidades de fronteira é $f_s>2B$. Um seno amostrado exatamente a $2f$ nos zeros perde toda a informação de amplitude.

A reconstrução ideal, com todas as amostras e banda adequada, é

$$x(t)=\sum_nx[n]\operatorname{sinc}\!\left(\pi\left(\frac t{T_s}-n\right)\right), \qquad \operatorname{sinc}(z)=\frac{\sin z}{z}.$$

Coloca o filtro antialiasing analógico antes do conversor. Filtrar depois não desfaz, em geral, a sobreposição espectral.

Para planear uma aquisição, decide por ordem: banda presumida a conservar, atenuação analógica das frequências acima de $f_s/2$, frequência de amostragem com $f_s>2B$ e só depois o número de bits para a resolução dos valores. Distingue banda presumida de frequência medida nas amostras.

Aliasing e bits

Cossenos sem fase com frequências $f+kf_s$ ou $-f$ dão as mesmas amostras. Reduz a frequência a $[-f_s/2,f_s/2]$ e toma o módulo. Assim, $900\,\mathrm{Hz}$ a $1000\,\mathrm{Hz}$ parece $100\,\mathrm{Hz}$. Na demo, $7\,\mathrm{Hz}$ a $10\,\mathrm{Hz}$ coincide com $3\,\mathrm{Hz}$. Para sinais com fase, a reflexão também muda a fase.

Amostragem discretiza tempo; quantização discretiza valores. Um canal a $48\,\mathrm{kHz}$ e $16$ bits usa $768\,\mathrm{kbit/s}$ sem compressão. Mais bits não corrigem aliasing. Ver teorema de amostragem.