Cheat sheet

Convenções e referências

Convenção	Fixação
Fasores	De pico; $j^2=-1$; $\omega=2\pi f$
Número de onda	$k=2\pi/\lambda$, distinto de $k_e\simeq8{,}99\times10^9\,\mathrm{N\,m^2/C^2}$
Sinais em Faraday	Fixa normal e contorno pela mão direita; o sinal refere-se a essa escolha
Pico vs eficaz	$U_{\rm ef}=U_m/\sqrt2$ só para sinusoide sem offset
Decibéis	Ganho de tensão $20\log_{10}\|H\|$; razão de potências $10\log_{10}$
Unidades de campo	$E$ em $\mathrm{N/C}=\mathrm{V/m}$; $B$ em teslas; fluxo elétrico em $\mathrm{V\,m}$; fluxo magnético em $\mathrm{Wb}=\mathrm{V\,s}$

Carga, campo e Maxwell

• Para força sobre carga conhecida, Coulomb e Lorentz: $q_e=-e$, $q_p=+e$, $e=1{,}602176634\times10^{-19}\,\mathrm C$. $\vec F_E=q\vec E$, com $q\ne0$. Lorentz $\vec F=q(\vec E+\vec v\times\vec B)$. A força magnética não realiza trabalho. Para movimento não relativista perpendicular a $B$ uniforme, $r=mv/(|q|B)$ e $\omega_c=|q|B/m$.
• Para campo criado por cargas pontuais, sobreposição: $\vec E=\sum_i k_eq_i(\vec r-\vec r_i)/|\vec r-\vec r_i|^3$. Soma componentes, não módulos; o sinal de $q_i$ já orienta cada parcela.
• Maxwell no vazio:

$$\nabla\cdot\vec E=\rho_V/\varepsilon_0,\quad\nabla\cdot\vec B=0, \qquad \nabla\times\vec E=-\partial_t\vec B,\quad \nabla\times\vec B=\mu_0\vec J+\mu_0\varepsilon_0\partial_t\vec E.$$

• $Q=\int\rho_VdV$, $I=\int\vec J\cdot d\vec A$, $\partial_t\rho_V=-\nabla\cdot\vec J$. $\rho_V$ em $\mathrm{C/m^3}$ e $J$ em $\mathrm{A/m^2}$. Derivada espacial divide a unidade por metro.
• Para testar se um campo proposto é possível, usa a forma diferencial e verifica as quatro equações com as fontes; uma só não basta.

Gauss com simetria

• Para campo com simetria, Gauss: fluxo fechado $Q_{\rm int}/\varepsilon_0$. Só a simetria permite retirar $E$ da integral. Exige distribuição uniforme na simetria invocada.

Simetria	Relação	Hipótese
Esfera	$E4\pi r^2=Q_{\rm int}/\varepsilon_0$	carga com simetria esférica
Fio infinito e uniforme	$E=\lambda_Q/(2\pi\varepsilon_0r)$	densidade linear uniforme, fio longo
Plano infinito e uniforme	Módulo $\|\sigma_Q\|/(2\varepsilon_0)$	densidade superficial uniforme, longe de bordos

Potencial e condutores

• Potencial: em eletrostática, $\vec E=-\nabla V$. Entre dois pontos, $V_B-V_A=-\int_A^B\vec E\cdot d\vec\ell$. Para carga $q$, $\Delta U=q(V_B-V_A)=-W_{A\to B}$, logo $\Delta V=-W_{\text{campo}}/q$. Cargas localizadas com $V(\infty)=0$: $V=\sum k_eq_i/r_i$. $V=0$ não implica $E=0$, porque o campo depende do gradiente.
• Condutor em equilíbrio: $E=0$ no material, $V$ constante, excesso de carga nas superfícies. Cavidade vazia fechada tem campo zero. Terra fixa potencial, não carga total. Com corrente, há campo interior e queda de potencial.
• Capacidade: $C=q/u$, esfera isolada $C=4\pi\varepsilon_0R$, placas $C=\varepsilon A/d$ desprezando bordos. Paralelo: $C_{\rm eq}=\sum C_i$. Série com nós intermédios neutros: $1/C_{\rm eq}=\sum1/C_i$. $W_C=Cu^2/2$.
• Limites de tensão em série, com nós intermédios neutros: calcula primeiro $q_{\max}=\min_k(C_kU_{k,\max})$ e depois $U_{\max}=q_{\max}\sum_k1/C_k$. Não somes automaticamente as tensões nominais.

Campo magnético estático

• Ampère: em magnetostática no vazio, $\oint\vec B\cdot d\vec\ell=\mu_0I_{\rm int}$. Só a simetria permite retirar $B$ da integral.
• Fio infinito: $B=\mu_0I/(2\pi r)$, azimutal pela mão direita.
• Bobina longa, longe dos extremos: $B\simeq\mu_0nI$, com $n$ espiras por metro.
• Centro de espira circular de raio $a$: $B=\mu_0I/(2a)$, apenas nesse ponto.

Força e momento magnéticos

• Força em fios: $d\vec F=I\,d\vec\ell\times\vec B$. Segmento retilíneo em campo uniforme: $\vec F=I\vec\ell\times\vec B$.
• Espira em campo uniforme: força total zero, momento $\vec m=NIA\hat n$, torque $\vec\tau=\vec m\times\vec B$, energia $U=-\vec m\cdot\vec B$. A normal segue a corrente pela mão direita.

Faraday, Lenz e indução

• Fluxo: $\Phi_B=\int\vec B\cdot d\vec A$. Para campo uniforme, $\Phi_B=BA\cos\theta$.
• Faraday: $\mathcal E=-N\,d\Phi_B/dt$ na orientação escolhida. Pode variar $B$, área ou orientação.
• Lenz: fixa normal e contorno pela mão direita; o sinal refere-se a essa escolha. A corrente induzida contraria a variação do fluxo, não o fluxo.
• Transformador ideal: $|U_2/U_1|=N_2/N_1$, $|I_2/I_1|=N_1/N_2$. A polaridade depende dos enrolamentos. Tensão contínua não mantém transformação estacionária.
• Autoindução: bobina linear fixa $N\Phi_B=LI$, força eletromotriz própria $-L\,dI/dt$, queda passiva $u_L=L\,dI/dt$, energia $LI^2/2$.

Ondas e energia

• Para direção e fase, ondas: $c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}=\lambda f=\omega/k$. Fase $kz-\omega t$ avança para $+z$; $kz+\omega t$ recua para $-z$. $\vec B=\hat k\times\vec E/c$ para onda plana no vazio; $B_m=E_m/c$.
• Para energia, Poynting: $\vec S=\vec E\times\vec B/\mu_0$, $w=\varepsilon_0E^2/2+B^2/(2\mu_0)$, $\partial_tw=-\vec J\cdot\vec E-\nabla\cdot\vec S$. Intensidade média harmónica com amplitude de pico $\mathcal I=\varepsilon_0cE_m^2/2$; com eficaz, $\mathcal I=\varepsilon_0cE_{\rm ef}^2$. Campo distante: amplitude $1/r$, intensidade $1/r^2$.

Condução e Hall

• Para corrente num material, condução: $\vec J=\sigma\vec E=nq\vec v_d$, $\rho=1/\sigma$, $R=\rho\ell/A$ para fio homogéneo de secção constante. Potência por volume $\vec J\cdot\vec E=\sigma E^2$. Não confundas deriva com velocidade de propagação do sinal.
• Para o sinal de Hall com um só tipo de portador, $|U_H|=|IB/(nqd)|$ com $d$ na direção de $B$. O módulo não dá a polaridade: fixa corrente, campo e contactos antes de concluir.

Kirchhoff e associações

• Kirchhoff: $\sum i=0$ nos nós, $\sum u=0$ em malhas, no modelo concentrado sem fluxos variáveis externos. Convenção passiva $p=ui$ para potência absorvida.
• Série sem derivação: somam $R$. Paralelo nos mesmos dois nós: soma $1/R$.
• Divisor sem carga $u_2=U_sR_2/(R_1+R_2)$; com carga, substitui $R_2$ por $R_2\parallel R_L$.
• Limites de potência por resistor, não pela soma das classificações: em série, $I_{\max}^2=\min_k(P_{k,\max}/R_k)$; em paralelo, $U_{\max}^2=\min_k(P_{k,\max}R_k)$.

Thévenin e potência máxima

• Thévenin: $U_{\rm Th}$ em aberto. Para $R_{\rm Th}$, anula fontes independentes (tensão ideal vira curto, corrente ideal vira aberto; com fontes dependentes usa fonte de teste). $I_N=U_{\rm Th}/R_{\rm Th}$. Carga: $I_L=U_{\rm Th}/(R_{\rm Th}+R_L)$.
• Máxima potência resistiva em $R_L=R_{\rm Th}>0$: $P_{\max}=U_{\rm Th}^2/(4R_{\rm Th})$. Os $50\%$ de eficiência pertencem ao equivalente, não necessariamente à rede original.

Transitórios de primeira ordem

• RC e RL: $i_C=C\dot u_C$, $u_L=L\dot i_L$. $u_C$ e $i_L$ são contínuos sem impulsos ideais.
• Vale apenas para circuito linear de primeira ordem estável, após comutação, com fonte constante. Então, com $x_0$ no instante $0^+$ e $x_\infty$ no limite DC:

$$x(t)=x_\infty+(x_0-x_\infty)e^{-t/\tau}.$$

• $\tau_{RC}=R_{\rm Th}C$, $\tau_{RL}=L/R_{\rm vista}$. DC estacionário: condensador aberto, bobina em curto. Após $5\tau$, resta menos de $0{,}7\%$ da variação. Não uses esta forma para entrada variável no tempo.

RLC e amortecimento

• RLC série: $\omega_0=1/\sqrt{LC}$, $\delta=R/(2L)$, $Q=\sqrt{L/C}/R$. $Q<1/2$ sem oscilação; $Q=1/2$ crítico; $Q>1/2$ subamortecido, $\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\delta^2}$. São precisas duas condições iniciais.

Fasores e potência

• Fasores: $u=U_m\cos(\omega t+\phi)\leftrightarrow\underline U=U_me^{j\phi}$, uma frequência de cada vez. Derivar multiplica por $j\omega$. $Z_R=R$, $Z_L=j\omega L$, $Z_C=1/(j\omega C)$. Série soma $Z$, paralelo soma $Y=1/Z$.
• Potência: para sinusoide sem offset, $U_{\rm ef}=U_m/\sqrt2$. Fasores de pico: $P=\Re(\underline U\underline I^*)/2$. Eficazes: $S=\underline U_{\rm ef}\underline I_{\rm ef}^*=P+jQ_{\rm r}$. $P$ em W, $Q_{\rm r}$ em var, $|S|$ em VA. Não esqueças conjugado nem fator $1/2$.
• Ressonância: RLC série, $Z=R$ em $\omega_0$, corrente máxima com tensão fixa, $Q=\omega_0L/R$. RLC paralelo ideal, $Z=R$ em $\omega_0$, corrente total mínima com tensão fixa; $Q=R\sqrt{C/L}$. Não troques as duas definições de $Q$.

Linhas sem perdas

• Linha sem perdas: $v=1/\sqrt{L'C'}$, $Z_0=\sqrt{L'/C'}$ (impedância característica, não resistência do fio), atraso $\ell/v$.
• Reflexão na carga: $\Gamma=(Z_L-Z_0)/(Z_L+Z_0)$; aberto $+1$, curto $-1$, adaptação $0$. Para pulsos, compara atraso com tempo de subida, não só $\ell$ com $\lambda$.

Medições

• Incerteza: entradas independentes, $u(y)^2=\sum(\partial y/\partial x_i)^2u(x_i)^2$; com correlação, junta covariâncias. Para $P=RI^2$, $u(P)/P=\sqrt{[u(R)/R]^2+4[u(I)/I]^2}$: compara incertezas relativas, porque a corrente entra com peso dois. Desvio $s$ descreve observações; $s/\sqrt n$ descreve a média de observações independentes. Especificação $\pm(a\%+n\text{ dígitos})$ ainda não é incerteza padrão.

Sinais e SLIT

• Sinais: $E_x=\int|x|^2dt$, $P_x=\lim_{T\to\infty}(2T)^{-1}\int_{-T}^T|x|^2dt$. No discreto, usa somas. Sinusoide não nula: energia infinita e $P_x=A^2/2$. As unidades dependem do sinal; numa resistência, divide por $R$. Amostragem discretiza tempo, quantização discretiza valores.
• SLIT: $y=x*h$; contínuo $\int x(\lambda)h(t-\lambda)d\lambda$ com limites pela interseção dos suportes, discreto $\sum_kx[k]h[n-k]$ só com índices não nulos. Causal: $h=0$ antes de zero. Estável BIBO para respostas ordinárias: $\int|h|<\infty$ ou $\sum|h|<\infty$. Cascata convolui $h$; paralelo soma $h$. Cascata de circuitos só mantém as respostas se a carga de um não alterar o outro.

Fourier e amostragem

• Fourier: $X(\omega)=\int x(t)e^{-j\omega t}dt$, inversa com $1/(2\pi)$. Convolução temporal vira produto $Y=XH$. Atraso multiplica por $e^{-j\omega t_0}$ sem mudar o módulo. Série periódica: $a_k=T_0^{-1}\int_{T_0}x(t)e^{-jk\omega_0t}dt$. O fasor de pico é o dobro de $a_1$; não os confundas.
• Filtro RC: $H=1/(1+j\omega RC)$, $f_c=1/(2\pi RC)$. No corte, $|H|=1/\sqrt2$, fase $-\pi/4$, ganho $-3{,}01\,\mathrm{dB}$. Os terminais de saída decidem o filtro: condensador dá passa-baixo, resistência dá passa-alto.
• Nyquist: banda $|f|\le B$, usa $f_s>2B$; a igualdade pode perder amplitude ou fase. Réplicas $X_s(\omega)=T_s^{-1}\sum_kX(\omega-k\omega_s)$. Filtra antes da amostragem; aumentar os bits não corrige aliasing.