Condução elétrica

A lâmpada acende rapidamente, mas os eletrões no fio têm uma velocidade média de deriva pequena. O campo eletromagnético estabelece-se ao longo do circuito; não é preciso um eletrão percorrer todo o fio para a energia chegar à lâmpada.

Corrente e deriva

A corrente convencional conta carga positiva por segundo, $I=dq/dt$. Num metal, os eletrões movem-se em média no sentido oposto. Para portadores com densidade numérica $n$, carga $q$ e velocidade de deriva $\vec v_d$, $\vec J=nq\vec v_d$. Num fio uniforme de secção $A$, $I=JA$ para a orientação escolhida. As velocidades microscópicas individuais variam; $\vec v_d$ é apenas a média que resta ao somar o movimento dos portadores.

Lei de Ohm microscópica

Num material óhmico, linear e isotrópico,

$$\vec J=\sigma\vec E,\qquad \rho=1/\sigma.$$

$\sigma$ é a condutividade, em $\mathrm{S/m}$; $\rho$ é a resistividade, em $\Omega\,\mathrm m$. Para um fio homogéneo de comprimento $\ell$ e secção constante $A$,

$$R=\rho\frac\ell A,\qquad u=RI.$$

Se o fio tiver secção variável, usa $R=\int\rho\,d\ell/A(\ell)$ nas condições de corrente aproximadamente unidimensional. Num fio com corrente estacionária, cargas superficiais distribuem-se para criar o campo que orienta a corrente. A condição $E=0$ só se aplica ao equilíbrio eletrostático.

Exemplo: fio de cobre

Tomamos $\rho=1{,}70\times10^{-8}\,\Omega\,\mathrm m$, $\ell=2{,}0\,\mathrm m$ e $A=0{,}50\,\mathrm{mm^2}=5{,}0\times10^{-7}\,\mathrm{m^2}$. Então $R=0{,}068\,\Omega$.

Mantemos este fio e fazemos passar $I=2{,}0\,\mathrm A$. A corrente distribui-se uniformemente pela secção, logo

$$J=\frac IA=4{,}0\times10^6\,\mathrm{A/m^2},\qquad E=\rho J=0{,}068\,\mathrm{V/m}.$$

O campo aponta no sentido da corrente convencional. Ao percorrer o fio nesse sentido, o potencial diminui: a queda entre os extremos é $u=E\ell=0{,}136\,\mathrm V$.

A potência dissipada pode verificar-se a duas escalas:

Cálculo	Resultado
Circuito: $I^2R$	$0{,}272\,\mathrm W$
Local: $JE$	$2{,}72\times10^5\,\mathrm{W/m^3}$
Local integrado: $(JE)(A\ell)$	$0{,}272\,\mathrm W$

A concordância mostra como a lei microscópica recupera o resultado do circuito.

Com $n=8{,}5\times10^{28}\,\mathrm{m^{-3}}$ e portadores $-e$, o módulo da deriva é $J/(ne)=2{,}94\times10^{-4}\,\mathrm{m/s}$. Este cálculo distingue transporte de carga de propagação do sinal.

Modelo de colisões

No modelo de Drude, a aceleração elétrica entre colisões tem média que dá $\vec v_d=q\tau\vec E/m$, onde $\tau$ é o tempo médio de relaxação. Logo $\sigma=nq^2\tau/m$. Este modelo ajuda a relacionar deriva e condutividade, mas não descreve toda a física quântica de um metal. Em particular, não confundas $v_d\tau$ com a distância microscópica típica percorrida entre colisões: esta depende da velocidade microscópica, muito maior que a deriva.

Condutores, isoladores e semicondutores

A condução depende dos estados de energia acessíveis aos eletrões. Nos metais há estados disponíveis junto dos ocupados; num isolante, a separação para estados de condução é grande. Num semicondutor, temperatura e dopagem alteram a quantidade de portadores. Podem participar eletrões e lacunas, estas descritas como portadores positivos.

A resistência de muitos metais cresce aproximadamente como $R(T)=R_0[1+\alpha(T-T_0)]$ num intervalo limitado. Semicondutores podem apresentar comportamento diferente. A lei de Ohm não se aplica automaticamente a todo o material ou a qualquer temperatura.

Um supercondutor, abaixo de condições críticas de temperatura, campo e corrente, pode ter resistência contínua nula e expulsar campo magnético do seu interior no estado de Meissner. Não é apenas um metal com resistividade pequena; o comportamento magnético também muda.

Díodos e fontes

Um díodo semicondutor tem uma relação não linear entre corrente e tensão. Um modelo simplificado é

$$i_D=I_0\left(e^{u_D/u_0}-1\right).$$

A orientação direta favorece a corrente; a inversa limita-a até outros mecanismos, como a rotura, se tornarem relevantes. Uma queda fixa de $0{,}7\,\mathrm V$ é uma aproximação de certos díodos de silício, não uma lei universal. Num LED, a recombinação pode emitir luz; o material determina a energia e a cor dos fotões.

Uma fonte de força eletromotriz fornece trabalho por carga através de processos químicos, mecânicos ou outros. A força eletromotriz $\mathcal E$ tem unidade volt, apesar do nome. Uma pilha real com resistência interna $r$ fornece tensão terminal $u=\mathcal E-rI$ quando entrega corrente.

Díodo em série com uma resistência

Liga uma fonte $x(t)$, uma resistência $R>0$ e um díodo em série, medindo $y(t)$ do ânodo para o cátodo. Kirchhoff e o modelo exponencial dão

$$x=y+RI_0(e^{y/u_0}-1),\qquad I_0,u_0>0.$$

A tensão no díodo fica definida por esta equação implícita: não é uma fração constante da tensão da fonte. Para uma fonte constante $x=1\,\mathrm V$, $R=1\,\mathrm{k\Omega}$, $I_0=1\,\mathrm{\mu A}$ e $u_0=0{,}10\,\mathrm V$, a solução é aproximadamente $y=0{,}5995\,\mathrm V$. A corrente é $(1-y)/1000\simeq0{,}4005\,\mathrm{mA}$. Somar a queda resistiva à tensão no díodo recupera a fonte.

A função $g(y)=y+RI_0(e^{y/u_0}-1)$ é estritamente crescente, porque $g'(y)=1+(RI_0/u_0)e^{y/u_0}>0$. Neste modelo, cada tensão da fonte tem uma única tensão no díodo. Isso permite procurar a raiz numericamente, mas não torna o sistema linear.

Duplicar a fonte para $2\,\mathrm V$ dá cerca de $0{,}7159\,\mathrm V$ no díodo, e não $2(0{,}5995)$. A lei exponencial não respeita homogeneidade. Neste modelo, a corrente inversa tende para $-I_0$. Se a aproximares por zero em polarização inversa, nesse ramo $y=x$, mas o ramo direto continua não linear.

Emissão e modulação de luz nos ecrãs

Num CRT, um feixe de eletrões varre um ecrã com fósforo e cada ponto emite luz quando é atingido. Num plasma, descargas em pequenas células excitam fósforos. Nos dois casos há emissão de luz nos pontos da imagem, mas o mecanismo de excitação é diferente.

Num LCD, a tensão controla a transmissão de luz através de cristais líquidos e polarizadores. A luz vem de uma fonte por trás do painel. Para representar preto, o painel tenta bloquear essa luz; a qualidade do bloqueio e o controlo da retroiluminação limitam o resultado.

Num ecrã emissivo de LED ou OLED, cada píxel produz luz por recombinação nos díodos e pode deixar de emitir localmente. Isso dispensa a modulação de uma fonte de luz comum. Um painel LCD com retroiluminação LED continua, porém, a ser LCD: a palavra LED pode identificar apenas a fonte de luz por trás. Antes de comparar dois ecrãs, identifica qual destes mecanismos forma a imagem.

Efeito Hall

Um campo magnético perpendicular à corrente desvia portadores. A acumulação lateral de carga cria um campo elétrico que pode equilibrar a força magnética: $\vec E_H=-\vec v_d\times\vec B$.

Fixa a fita com corrente para $+x$, campo $B$ para $+z$ e contactos nas faces $+y$ e $-y$. Com eletrões, $\vec J=nq\vec v_d$ exige deriva para $-x$. Então $\vec v_d\times\vec B$ aponta para $+y$, mas a carga negativa inverte a força para $-y$.

Portador	Deriva	Força	Carga em −y
Eletrões	−x	−y	Negativa
Lacunas	+x	−y	Positiva

Os portadores acumulam-se na mesma face nos dois casos: ao trocar o sinal de $q$, a deriva também troca de sentido. O que inverte é a polaridade. Para os mesmos contactos, $V_{+y}-V_{-y}>0$ com eletrões e $V_{+y}-V_{-y}<0$ com lacunas. O campo de Hall aponta para $-y$ no primeiro caso e para $+y$ no segundo, como confirma $\vec E_H=-\vec v_d\times\vec B$.

Para um único tipo de portador, corrente $I$, campo perpendicular $B$ e espessura $d$ na direção do campo,

$$|U_H|=\left|\frac{IB}{nqd}\right|.$$

A fórmula do módulo não determina a polaridade sem referências. O modelo também deixa de bastar quando vários tipos de portador contribuem significativamente para a condução.