Equações de Maxwell

Uma placa muito larga tem carga distribuída por todo o volume. Somar as contribuições de cada elemento, como fizemos com o dipolo, exigiria um integral vetorial. A lei de Gauss permite calcular o campo pela carga incluída numa superfície fechada.

Para usar esse atalho, precisamos de simetria: ela determina a direção do campo e onde o seu módulo é constante. Vamos aplicá-lo a uma placa e distinguir essa lei das outras três equações de Maxwell.

Carga e corrente distribuídas

A densidade volúmica $\rho_V$ mede carga por volume, em $\mathrm{C/m^3}$. Assim, $Q=\int_V\rho_V\,dV$. Reservamos $\sigma_Q$ para carga superficial, em $\mathrm{C/m^2}$, e $\lambda_Q$ para carga por comprimento, em $\mathrm{C/m}$. Não confundas estas densidades com a condutividade elétrica $\sigma$.

A densidade de corrente é $\vec J=\sum_s\rho_s\vec v_s$, em $\mathrm{A/m^2}$, onde cada população $s$ tem densidade de carga com sinal e velocidade própria. A corrente por uma secção orientada é $I=\int_S\vec J\cdot d\vec A$. Um plasma neutro pode transportar corrente: cargas negativas e positivas movidas em sentidos opostos contribuem para a mesma corrente convencional.

Fluxo e circulação

O fluxo de um campo por uma superfície é $\Phi_E=\int_S\vec E\cdot d\vec A$. Numa superfície fechada, a normal aponta para fora. Para um campo uniforme numa superfície plana, $\Phi_E=EA\cos\theta$, com $\theta$ entre o campo e a normal. A unidade é $\mathrm{V\,m}$.

A circulação é $\oint_C\vec E\cdot d\vec\ell$, uma soma das componentes tangenciais ao longo de uma curva fechada. Tem unidade volt. Normal e sentido do contorno relacionam-se pela mão direita.

O teorema da divergência transforma fluxo fechado em integral de $\nabla\cdot\vec E$ sobre o volume. Stokes transforma circulação em integral de $\nabla\times\vec E$ sobre a superfície. O operador $\nabla$ reúne derivadas espaciais. Por exemplo, $\partial_xE_x$ deriva a componente $E_x$ em relação a $x$, mantendo $y,z$ fixos. Em coordenadas cartesianas,

$$\nabla\cdot\vec E=\partial_xE_x+\partial_yE_y+\partial_zE_z.$$

O rotacional é um vetor. A sua componente segundo $z$ é $(\nabla\times\vec E)_z=\partial_xE_y-\partial_yE_x$; as restantes seguem a ordem cíclica $x,y,z$. Divergência mede fonte local de fluxo; rotacional mede circulação local por área. Um campo pode ser não nulo e ter ambos nulos numa região.

Se a distinção entre divergência e rotacional ainda confunde, vê este vídeo para visualizar os dois operadores: observa como relaciona o fluxo com as fontes e a circulação com o contorno.

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As quatro leis lado a lado

No vazio, com densidades de carga e corrente indicadas explicitamente:

$$\begin{aligned} \nabla\cdot\vec E&=\rho_V/\varepsilon_0,& \nabla\cdot\vec B&=0,\\ \nabla\times\vec E&=-\partial_t\vec B,& \nabla\times\vec B&=\mu_0\vec J+\mu_0\varepsilon_0\partial_t\vec E. \end{aligned}$$

Usamos $\varepsilon_0\simeq8{,}85\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}$ e $\mu_0\simeq1{,}257\times10^{-6}\,\mathrm{H/m}$. São valores aproximados, não constantes numéricas exatas no SI atual. No vazio, $\vec D=\varepsilon_0\vec E$ e $\vec H=\vec B/\mu_0$. Em materiais, as relações constitutivas podem ser diferentes e não lineares.

Para superfícies e contornos fixos, as formas integrais são

$$\begin{aligned} \oint_S\vec E\cdot d\vec A&=Q_{\mathrm{int}}/\varepsilon_0,\\ \oint_S\vec B\cdot d\vec A&=0,\\ \oint_C\vec E\cdot d\vec\ell&=-\frac{d}{dt}\int_S\vec B\cdot d\vec A,\\ \oint_C\vec B\cdot d\vec\ell&=\mu_0I_S+\mu_0\varepsilon_0\frac{d}{dt}\int_S\vec E\cdot d\vec A. \end{aligned}$$

Gauss relaciona carga interior e fluxo elétrico; Gauss magnético exclui fontes isoladas de fluxo magnético; Faraday liga a variação de $\vec B$ à circulação de $\vec E$; Ampère-Maxwell liga corrente e variação de $\vec E$ à circulação de $\vec B$.

Fluxo magnético total zero não obriga o campo a ser zero, nem obriga todas as linhas a formarem curvas fechadas finitas.

Chama-se corrente de deslocamento ao termo $\varepsilon_0d\Phi_E/dt$, com unidade ampere. Não exige que portadores atravessem a superfície.

Fixa primeiro o contorno circular à volta do fio que alimenta um condensador de placas paralelas no vazio, desprezando bordos. Com uma superfície que corta o fio, a circulação vem da corrente de condução $I$. Com uma superfície que passa entre as placas, a mesma circulação vem de $\varepsilon_0d\Phi_E/dt=dQ/dt=I$, porque $\Phi_E=Q/\varepsilon_0$. As duas superfícies partilham o contorno e têm de dar a mesma circulação. É essa exigência que torna o termo necessário.

Lei de Gauss

• Simetria esférica: $\vec E=E(r)\hat e_r$; a esfera de Gauss dá $E(r)4\pi r^2=Q_{\mathrm{int}}(r)/\varepsilon_0$.
• Fio infinito uniforme: superfície cilíndrica de raio $r$ e comprimento $\ell$; só a lateral contribui, dando $E2\pi r\ell=\lambda_Q\ell/\varepsilon_0$.
• Plano infinito uniforme: uma caixa fina atravessa o plano; as duas tampas dão $2EA=\sigma_QA/\varepsilon_0$.

O fio tem $E=\lambda_Q/(2\pi\varepsilon_0r)$. O plano tem módulo $|\sigma_Q|/(2\varepsilon_0)$, constante de cada lado. Estas são aproximações longe dos extremos do fio ou dos bordos do plano.

Exemplo: placa com espessura

Uma placa infinita ocupa $-L<z<L$ e tem $\rho_V$ constante. A simetria dá $\vec E=E_z(z)\hat e_z$ e $E_z(-z)=-E_z(z)$. Uma caixa com tampas em $\pm z$, para $0<z<L$, contém $Q=2zA\rho_V$.

Na figura, $\rho_V>0$ e $E=E_z(z)>0$ na tampa direita. Na tampa esquerda, tanto o campo como a normal mudam de sentido, por isso o fluxo também é $EA$. O fator $2$ no fluxo vem das duas tampas; na carga, vem da espessura $z-(-z)=2z$. As laterais não contribuem porque o campo é tangente. Assim, $2E_zA=2zA\rho_V/\varepsilon_0$:

$$E_z(z)=\begin{cases} \rho_Vz/\varepsilon_0,& |z|\le L,\\ (\rho_VL/\varepsilon_0)\operatorname{sgn}(z),& |z|>L. \end{cases}$$

Com $\rho_V=2\,\mathrm{nC/m^3}$ e $L=0{,}10\,\mathrm m$, em $z=0{,}04\,\mathrm m$ temos $E_z=9{,}04\,\mathrm{V/m}$; fora da placa, o módulo é $22{,}6\,\mathrm{V/m}$. O campo é contínuo na fronteira porque não acrescentámos uma folha de carga superficial.

Uma esfera isolante uniformemente carregada tem $Q_{\mathrm{int}}(r)=Q(r/R)^3$ no interior, logo $E=kQr/R^3$. Uma esfera condutora em equilíbrio tem $E=0$ no material. A mesma forma exterior não significa a mesma distribuição interior.

Conservação da carga

A equação de continuidade é

$$\partial_t\rho_V+\nabla\cdot\vec J=0.$$

Se sai mais corrente do que entra numa pequena região, a carga aí diminui. Obtém-se tomando a divergência de Ampère-Maxwell: a divergência de um rotacional é zero e Gauss dá $0=\mu_0\nabla\cdot\vec J+\mu_0\partial_t\rho_V$. O termo de deslocamento é necessário para esta compatibilidade.

Por exemplo, $\vec J=(J_0x/L)\hat e_x$ dá $\partial_t\rho_V=-J_0/L$. Corrente espacialmente constante dá divergência zero, não acumulação local.

Campos estacionários e campos possíveis

Quando todas as derivadas temporais são zero, $\nabla\times\vec E=0$ e $\nabla\times\vec B=\mu_0\vec J$. Um campo irrotacional admite potencial local; num domínio simplesmente conexo e regular, a circulação fechada é zero. A topologia importa se a região excluir fontes ou singularidades.

Para $\vec E=ax\hat e_x$ e $\vec B=0$ estacionários, Gauss exige $\rho_V=\varepsilon_0a$ e Ampère exige $\vec J=0$.

Para $\vec B=ax\hat e_x$, a divergência é $a$, incompatível com Gauss magnético se $a\ne0$. Verificar só uma das quatro equações não prova que um campo é possível.

Um campo elétrico independente do espaço mas variável no tempo, com $\vec B=0$ e $\vec J=0$, viola Ampère-Maxwell. Para campos variáveis, verifica os dois campos e as fontes em conjunto.

Potenciais auxiliares

Ver potenciais e decomposição de Helmholtz

Um campo magnético regular sem divergência pode representar-se localmente como $\vec B=\nabla\times\vec A$, onde $\vec A$ é o potencial vetorial, em $\mathrm{T\,m}$. Faraday permite escrever

$$\vec E=-\nabla V-\frac{\partial\vec A}{\partial t}.$$

O termo gradiente descreve a parte irrotacional e o termo temporal permite a circulação do campo induzido. Para campos estacionários podemos escolher potenciais independentes do tempo e usar $\vec E=-\nabla V$; a estacionariedade dos campos não obriga os potenciais a serem estacionários em qualquer gauge. Os potenciais não são únicos: diferentes escolhas relacionadas por uma transformação de gauge podem representar os mesmos campos.

A decomposição de Helmholtz separa, sob condições adequadas de regularidade e de fronteira, um campo vetorial numa parte irrotacional e numa parte solenoidal. Irrotacional significa rotacional zero; solenoidal significa divergência zero. Esta separação não permite ignorar condições de fronteira nem afirmar que qualquer função singular admite as mesmas fórmulas sem tratamento adicional.