Linhas de transmissão

Comprimento e parâmetros distribuídos

O modelo concentrado pressupõe $\ell$ pequeno face a $\lambda=v/f$. Para pulsos, compara o atraso $\ell/v$ com o tempo de subida. A referência $\ell<\lambda/100$ é conservadora, sem constituir uma fronteira exata.

Por unidade de comprimento, $R'$, $L'$, $G'$ e $C'$ medem resistência série, indutância série, condutância transversal e capacidade transversal, em $\Omega/\mathrm m$, $\mathrm{H/m}$, $\mathrm{S/m}$ e $\mathrm{F/m}$.

Com corrente referida a $+z$ e tensão entre sinal e retorno:

$$\partial_zu=-R'i-L'\partial_ti,\qquad \partial_zi=-G'u-C'\partial_tu.$$

No regime fasorial, as derivadas temporais tornam-se $j\omega$ e

$$\gamma=\sqrt{(R'+j\omega L')(G'+j\omega C')}.$$

A parte real não negativa descreve atenuação; a imaginária descreve fase por comprimento.

Linha sem perdas e atraso

Para $R'=G'=0$:

$$v=\frac1{\sqrt{L'C'}},\qquad Z_0=\sqrt{\frac{L'}{C'}},\qquad i^+=\frac{u^+}{Z_0},\quad i^-=-\frac{u^-}{Z_0}.$$

$Z_0$ é impedância característica, não resistência total do fio. A corrente da onda refletida tem sinal contrário na mesma referência longitudinal.

Com $L'=250\,\mathrm{nH/m}$ e $C'=100\,\mathrm{pF/m}$, $Z_0=50\,\Omega$ e $v=2\times10^8\,\mathrm{m/s}$. Num cabo de $2\,\mathrm m$, o degrau chega à carga em $10\,\mathrm{ns}$. Ver atraso e reflexões.

Reflexão na carga

$$\Gamma=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0},\qquad U^-=\Gamma U^+,\qquad U_L=U^++U^-,\quad I_L=\frac{U^+-U^-}{Z_0}.$$

Terminação	$\Gamma$	Na extremidade
Adaptada, $Z_L=Z_0$	$0$	Sem reflexão
Aberta	$+1$	Tensão duplica, corrente anula-se
Curto	$-1$	Tensão anula-se, corrente duplica

Para $Z_0=50\,\Omega$, $Z_L=100\,\Omega$ e incidente $3\,\mathrm V$, $\Gamma=1/3$, refletida $1\,\mathrm V$, tensão de carga $4\,\mathrm V$ e corrente $40\,\mathrm{mA}$. Numa linha sem perdas com impedâncias reais, a fração de energia refletida é $|\Gamma|^2$, aqui $1/9$.

Ver orientação e reflexão.