Sinais e propriedades de sistemas

Tempo, valores e transformações

• $x(t)$ existe em tempo contínuo, mas pode ter saltos. $x[n]$ usa índices inteiros; amostrar dá $x[n]=x(nT_s)$.

• Quantizar restringe valores. Para gama $[U_{\min},U_{\max})$ e $N$ bits, o passo uniforme típico é $\Delta=(U_{\max}-U_{\min})/2^N$; com arredondamento e sem saturação, o erro tem módulo até $\Delta/2$.

• $x(t-t_0)$ atrasa se $t_0>0$; $x(-t)$ reflete; $x(at)$ comprime por $|a|$ quando $|a|>1$ e também reflete quando $a<0$.

• $x_p=(x(t)+x(-t))/2$ e $x_i=(x(t)-x(-t))/2$; a soma recupera $x$. Em discreto, o período é inteiro e $\cos(\Omega n)$ só é periódica se $\Omega/(2\pi)$ for racional.

Localiza o suporte resolvendo desigualdades no argumento. Se $x$ ocupa $0\le t\le2$, $x(2t-2)$ ocupa $1\le t\le2$. Ver transformações no tempo.

Escalão, impulso, energia e potência

O escalão $u(t)$ vale zero antes de zero e um depois. Dirac é uma distribuição de área unitária:

$$\int f(t)\delta(t-t_0)dt=f(t_0).$$

Em discreto, $\delta[n]$ vale um em zero e zero nos outros índices; $x[n]=\sum_kx[k]\delta[n-k]$.

$$E_x=\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2dt,\qquad P_x=\lim_{T\to\infty}\frac1{2T}\int_{-T}^{T}|x(t)|^2dt.$$

Em discreto, usa somas e média sobre $2N+1$ índices. Para tensão, as unidades são $\mathrm{V^2\,s}$ e $\mathrm{V^2}$; energia e potência numa resistência exigem dividir por $R$.

• Sinal de energia: $0<E_x<\infty$, com $P_x=0$.
• Sinal de potência: $0<P_x<\infty$, com $E_x=\infty$.
• Para $Ae^{-at}u(t)$, $a>0$ e $A\ne0$, $E_x=A^2/(2a)$. Uma sinusoide não nula tem $P_x=A^2/2$.
• Nem todo o sinal pertence a uma destas classes. Não calcules $\delta^2$ como função ordinária.

Propriedades dos sistemas

Propriedade	Teste
Sem memória	Saída atual usa apenas entrada atual
Causal	Não usa entrada futura
BIBO estável	Toda a entrada limitada dá saída limitada
Linear	$S[ax_1+bx_2]=aS[x_1]+bS[x_2]$ para quaisquer entradas e escalares
Invariante no tempo	Atrasar entrada atrasa igualmente saída

$y=tx(t)$ é linear e variante; $y=x^2$ é não linear e invariante. Em circuitos com armazenamento, usa estado inicial nulo ou separa a resposta inicial para definir a transformação linear. Ver testes de propriedades.