Cheat sheet

Desenha o domínio. Confere regularidade, orientação e jacobiano antes de calcular.

Curvas

Para $\mathbf r(t)$ de classe $C^2$ e regular, com $\mathbf r'\ne0$: $v=\|\mathbf r'\|$, $\mathbf T=\mathbf r'/v$, $L=\int_a^bv(t)\,dt$, $s(t)=\int_a^tv(u)\,du$.

Grandeza	Fórmula e condição
Normal e binormal	Se $\mathbf T'\ne0$: $\mathbf N=\mathbf T'/\|\mathbf T'\|$, $\mathbf B=\mathbf T\times\mathbf N$
Curvatura	$\kappa=\|\mathbf T'\|/v=\|\mathbf r'\times\mathbf r''\|/v^3$
Curva plana	$\kappa=\lvert x'y''-y'x''\rvert/v^3$
Gráfico $y=f(x)$	$\kappa=\lvert f''\rvert/(1+f'^2)^{3/2}$
Centro	Se $\kappa>0$: $\rho=1/\kappa$, $C=P+\rho\mathbf N$
Aceleração	$\mathbf a=v'\mathbf T+v^2\kappa\mathbf N$, com $v'=\mathbf r'\cdot\mathbf r''/v$
$v$ variável	Retira $v'\mathbf T$ de $\mathbf r''$ antes de normalizar para $\mathbf N$

Planos por $P$ com normal $\mathbf n$: $\mathbf n\cdot((x,y,z)-P)=0$. Normal usa $\mathbf T$, osculador usa $\mathbf B$, retificador usa $\mathbf N$. Curvatura e planos.

Limites e diferenciabilidade

• Dois caminhos com limites diferentes refutam o limite. Concordância em retas ou iterados não prova.
• Para provar: estimativa $|f-L|\le C\|x-a\|^\alpha$, $\alpha>0$, válida em todas as direções. Em polares, controla o ângulo uniformemente.
• Continuidade em ponto de acumulação: limite igual ao valor definido.

Se $f$ é diferenciável: $f(a+h)=f(a)+\nabla f\cdot h+o(\|h\|)$. Parciais contínuas perto do ponto chegam; parciais só no ponto não chegam.

• Direcional com $\|u\|=1$: $D_uf=\nabla f\cdot u$. Maior aumento $\|\nabla f\|$ na direção do gradiente não nulo.
• Campo $F:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$: $J_F$ tem $m\times n$ entradas, $D_uF=J_Fu$.
• Plano tangente a $z=f(x,y)$: $z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)$. Nível regular $F=c$: normal $\nabla F\ne0$. Limites · Gradiente.

Cadeia e implícitas

$$\frac d{dt}f(x(t),y(t))=f_xx'+f_yy',\qquad J_{F\circ g}(a)=J_F(g(a))J_g(a).$$

• $F(x,y)=0$ com $F\in C^1$ e $F_y\ne0$: $y'=-F_x/F_y$.
• $F(x,y,z(x,y))=0$ com $F_z\ne0$: $z_x=-F_x/F_z$, $z_y=-F_y/F_z$.
• Sistemas: deriva todas as equações e resolve nas derivadas das variáveis dependentes. Determinante não nulo garante a representação local.
• Nunca dividas por uma expressão sem tratar o caso zero. Cadeia.

Taylor e extremos

Com $h=x-a$, $k=y-b$, derivadas no centro:

$$P_2=f+f_xh+f_yk+\tfrac12(f_{xx}h^2+2f_{xy}hk+f_{yy}k^2).$$

Para $f\in C^2$, o resto é $o(h^2+k^2)$. Num candidato interior diferenciável, $\nabla f=0$.

Condição	Resultado local
$D>0$, $f_{xx}>0$	Mínimo estrito
$D>0$, $f_{xx}<0$	Máximo estrito
$D<0$	Sela
$D=0$	Inconclusivo

com $D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2$.

• Absolutos: junta interior, fronteira e pontos não diferenciáveis; compara valores. Contínua em compacto atinge extremos.
• Lagrange sobre $g=0$ regular, $f,g\in C^1$: $\nabla f=\lambda\nabla g$ mais a restrição. Verifica pontos com $\nabla g=0$ e o comportamento no infinito em conjuntos ilimitados. Extremos.

Integrais múltiplos

• Faixa vertical: $\int_a^b\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f\,dy\,dx$. Trocar a ordem exige redescrever a região; parte-a onde a fronteira muda.
• Em três variáveis: projeta o sólido e limita a terceira coordenada entre superfícies.

Coordenadas	Elemento
Polares	$dA=r\,dr\,d\theta$, $r\ge0$
Cilíndricas	$dV=r\,dr\,d\theta\,dz$
Esféricas ($\varphi$ desde $z$ positivo)	$dV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$, $\rho\ge0$, $0\le\varphi\le\pi$

Mudança $C^1$ injetiva no interior com jacobiano não nulo: usa $|\det J_T|$ e transforma também a região. Duplos · Esféricas.

• Massa: integral da densidade; centro de massa divide por $M>0$. Simetria exige domínio e integrando completo simétricos.
• Inércia: $I_x=\iint y^2\sigma\,dA$, $I_y=\iint x^2\sigma\,dA$; momento polar usa $x^2+y^2$.

Linha e Green

$$\int_C f\,ds=\int_a^bf(r(t))\|r'(t)\|\,dt,\qquad \int_C F\cdot dr=\int_a^bF(r(t))\cdot r'(t)\,dt.$$

Inverter o sentido conserva o escalar e troca o sinal do vetorial.

• Conservativo $F=\nabla\phi$: trabalho $\phi(B)-\phi(A)$. Com $C^1$ em aberto simplesmente conexo, $P_y=Q_x$ (plano) ou rotacional nulo (espaço) chegam. Um buraco no domínio pode impedir a conclusão.
• Green, fronteira positiva (região à esquerda), campo $C^1$ numa vizinhança da região:

$$\oint_{\partial D}P\,dx+Q\,dy=\iint_D(Q_x-P_y)\,dA.$$

• Área: $\tfrac12\oint(x\,dy-y\,dx)=\oint x\,dy=-\oint y\,dx$, sempre em orientação positiva.
• Fluxo plano exterior: $\oint P\,dy-Q\,dx=\iint(P_x+Q_y)\,dA$. Fronteira interior de buraco em sentido horário. Green.

Superfície, divergência e Stokes

• Parametrização regular: $N=r_u\times r_v$, $dS=\|N\|\,du\,dv$. Escalar usa a norma; fluxo usa $F(r)\cdot N$ para o lado pedido.
• Gráfico $z=f(x,y)$ para cima: normal $(-f_x,-f_y,1)$.

$$\operatorname{div}F=P_x+Q_y+R_z,\qquad \operatorname{rot}F=(R_y-Q_z,P_z-R_x,Q_x-P_y).$$

Pedido	Método	Condição a conferir
Fluxo por superfície fechada	Divergência	Normal exterior, sem singularidades no sólido
Fluxo por superfície aberta	Direto, ou fechar e subtrair tampas	Orientação de cada parte
Circulação espacial	Stokes	Bordo e normal compatíveis (mão direita)
Circulação plana	Green	Campo definido em toda a região

Stokes em superfície fechada: fluxo do rotacional é zero. Fluxo e teoremas.

EDP básicas

• Linear: $u$ e derivadas à primeira potência, sem produtos; coeficientes nas variáveis independentes. Integrar $u_x=f(x,y)$ introduz função arbitrária de $y$.
• Transporte $u_t+cu_x=0$, $u(x,0)=g$: $u(x,t)=g(x-ct)$.
• Classificação $Au_{xx}+Bu_{xy}+Cu_{yy}$: $\Delta=B^2-4AC$; $\Delta>0$ hiperbólica, $=0$ parabólica, $<0$ elíptica. $B$ é o coeficiente completo de $u_{xy}$.

Calor em $(0,L)$:

Fronteira	Modos	Comportamento
Dirichlet $u=0$	Senos	Todos os modos decaem à taxa $k(n\pi/L)^2$
Neumann $u_x=0$	Cossenos com modo constante	Constante conserva a média; restantes decaem

Onda com fronteiras nulas: $u=\sum\sin(n\pi x/L)(A_n\cos\omega_nt+B_n\sin\omega_nt)$, com $\omega_n=n\pi c/L$. Usa os dois dados: $A_n$ do deslocamento, $B_n$ da velocidade dividida por $\omega_n$.

Laplace no retângulo: um lado com dados usa $\sinh$ normalizado; dois lados somam as duas contribuições; Neumann na base troca $\sinh$ por $\cosh$; lados verticais isolados admitem cossenos e modo constante; Robin exige conferir o sinal da normal exterior. Verifica equação, dados e domínio separadamente. EDP · Fronteira.