Derivadas parciais, gradiente e jacobiana

Saber para onde uma função de várias variáveis cresce mais depressa é essencial para otimizar, aproximar e resolver equações. A ideia é reduzir o problema a uma variável de cada vez: fixa todas menos uma, deriva, e repete. O gradiente junta essas informações num só vetor que aponta para a subida mais íngreme.

Derivadas parciais

A derivada parcial de $f$ em ordem a $x$ mede a taxa de variação ao longo da direção do eixo $x$, tratando as restantes variáveis como constantes:

$$\frac{\partial f}{\partial x}(a, b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h, b) - f(a, b)}{h}.$$

Na prática, derivas como em AM I e tratas as outras letras como números. Para $f(x, y) = x^2 + 2y^3 - xy$:

$$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x - y, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = 6y^2 - x.$$

No ponto $(1, 0)$, isto dá $\frac{\partial f}{\partial x}(1, 0) = 2$ e $\frac{\partial f}{\partial y}(1, 0) = -1$. Ou seja, ao andar um pouco na direção de $x$ a função sobe com declive $2$; ao andar na direção de $y$, desce com declive $1$. Vamos reutilizar este exemplo ao longo da página.

As derivadas parciais só contam a história ao longo dos eixos. Uma função pode ter ambas as parciais num ponto e mesmo assim não ser contínua aí, como viste em limites e continuidade. A diferenciabilidade pede mais do que a existência das parciais: pede que o plano tangente aproxime bem a função em todas as direções.

Derivada direcional

E se andarmos numa direção diagonal, como $(1, 1)$? Seja $\mathbf{u} = (u_1, u_2)$ um vetor unitário, isto é, com norma $1$. A derivada direcional de $f$ em $(a, b)$ segundo $\mathbf{u}$ é:

$$D_{\mathbf{u}} f(a, b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h u_1, b + h u_2) - f(a, b)}{h}.$$

É um número, não um vetor: diz a taxa de subida nessa direção. O pormenor que mais gente esquece é normalizar $\mathbf{u}$. A direção $(1, 1)$ corresponde ao vetor unitário $\mathbf{u} = (1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$. Sem esta divisão, o resultado vem multiplicado pela norma do vetor e deixa de ser uma taxa por unidade de distância.

Para $f(x, y) = x^2 + 2y^3 - xy$ em $(1, 0)$ segundo $\mathbf{u} = (1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$, podíamos substituir na definição, mas a secção seguinte dá um atalho.

O gradiente

O gradiente de $f$ é o vetor das derivadas parciais:

$$\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right).$$

Para o nosso exemplo, $\nabla f(x, y) = (2x - y, 6y^2 - x)$, logo $\nabla f(1, 0) = (2, -1)$.

O gradiente responde a três perguntas de uma vez:

1. Taxa em qualquer direção. Se $f$ é diferenciável, $D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}$. No exemplo, $D_{\mathbf{u}} f(1, 0) = (2, -1) \cdot (1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2}) = 1/\sqrt{2}$. Confirma: a função sobe devagar nessa diagonal.
2. Direção de subida máxima. É a direção do próprio gradiente, e a taxa máxima é a sua norma $\lVert \nabla f \rVert$. Em $(1, 0)$, a subida mais íngreme vai na direção $(2, -1)/\sqrt{5}$, com taxa $\sqrt{5}$. A descida mais íngreme vai no sentido oposto.
3. Direção de nível constante. O gradiente é perpendicular às curvas de nível. Se $f(x, y) = c$ define uma curva, $\nabla f$ é perpendicular a essa curva em cada ponto. Por isso o método dos multiplicadores de Lagrange, que vês mais à frente, iguala gradientes.

Repara na diferença de natureza: a derivada direcional é um número (quanto sobe naquela direção); o gradiente é um vetor (para onde subir mais). Misturar os dois é o erro mais comum nos testes.

A matriz jacobiana

Quando a função devolve um vetor, como $F(x, y) = (x^2 - y, xy)$, cada componente tem o seu gradiente. A matriz jacobiana empilha esses gradientes em linhas:

$$J_F = \begin{pmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial x} & \frac{\partial F_1}{\partial y} \\ \frac{\partial F_2}{\partial x} & \frac{\partial F_2}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x & -1 \\ y & x \end{pmatrix}.$$

Em $(1, 0)$, $J_F = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, com determinante $2$. A jacobiana é a aproximação linear de $F$ perto do ponto: transforma pequenos deslocamentos $(h, k)$ em $J_F (h, k)$. Quando $F$ vai de $\mathbb{R}^n$ em $\mathbb{R}^n$ e o determinante é diferente de zero, essa aproximação é invertível, e é daqui que parte o teorema da função inversa.

Se a função devolve um número (como $f$), a jacobiana é uma linha e coincide com o gradiente transposto. O gradiente é o caso particular; a jacobiana é a versão geral.

Plano tangente

O gradiente também escreve o plano tangente ao gráfico $z = f(x, y)$ em $(a, b)$. O plano passa por $(a, b, f(a, b))$ e tem vetor normal $(f_x, f_y, -1)$:

$$z - f(a, b) = \frac{\partial f}{\partial x}(a, b)\,(x - a) + \frac{\partial f}{\partial y}(a, b)\,(y - b).$$

Para $f(x, y) = x^2 + 2y^3 - xy$ em $(1, 0)$, temos $f(1, 0) = 1$ e:

$$z - 1 = 2(x - 1) - (y - 0), \qquad \text{ou seja, } z = 2x - y - 1.$$

Verifica com um ponto próximo: $f(1{,}1, 0{,}1) = 1{,}21 + 0{,}002 - 0{,}11 = 1{,}102$, enquanto o plano dá $2(1{,}1) - 0{,}1 - 1 = 1{,}1$. A diferença é $0{,}002$, pequena como se espera de uma boa aproximação linear. Esta aproximação é a base da fórmula de Taylor em várias variáveis e da regra da cadeia, o tema seguinte.